Question

【題目】隨著近幾年城市建設的快速發展.某市對花木的需求量逐年提高，某園林專業戶計劃投資15萬元種植花卉和樹木.根據市場調查與預測，種植樹木的利潤y1(萬元)與投資量x(萬元)成正比例關系，如圖①所示；種植花卉的利潤y2(萬元)與投資量x(萬元)的函數關系如圖②所示（其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點；AB//x軸）。

(1)求出y1和y2關于投資量x的函數關系式

(2)求此專業戶種植花卉和樹木獲取的總利潤W(萬元)關于投入種植花卉的資金t(萬元)之間的函數關系式:

(3)此專業戶投入種植花卉的資金為多少萬元時，才能使獲取的利潤最大，最大利潤是多少?

Answer 1

【答案】（1）y1=2x，；（2）；（3）當t=4時，W取得最大值為46萬.

【解析】

(1)從y2(萬元)與投資量x(萬元)的函數關系圖可知，當0<x≤5時y2與x的關系式圖象為二次函數圖象的一部分，當x>5時，y2=25，故應分兩種情況；

(2)根據(1)中所求關系式及y1=2x及共投資15萬元，列出關于w、t的函數關系式；

(3)由(2)中w、t的關系式求出w的最大值即可．

解：(1)設y1=kx，由圖①所示，函數y1=kx的圖象過(1，2)，

所以2=k1，k=2，故利潤y1關于投資量x的函數關系式是y1=2x；

由函數圖象可知，當x≤5時，y2與x的關系式圖象為拋物線的一部分，

設此拋物線的解析式為：y2=a(x-5)2+25，

把(0，0)代入解析式得，0=25a+25(x≤5)．解得a=-1，

故函數解析式為y2=-(x-5)2+25(x≤5)．

當x＞5時，y2=25(x＞5），

故y2與x的關系式為；

(2)因為投入種植花卉t萬元，則投入種植樹木（15-t）萬元，

當t≤5時，y1=2(15-t)，y2=-(t-5)2+25，

則W=-(t-5)2+25+2(15-t)=-t2+8t+30；

當5＜t＜15時，y1=2(15-t)，y2=25，

則W=55-2t．總利潤W(萬元)關于投入種植花卉的資金t(萬元)之間的函數關系式；

(3)當t≤5時W=-t2+8t+30，根據二次函數的性質，當萬元時，W取得最大值，W最大值=-42+8×4+30=-16+32+30=46萬．

當5＜t＜15，∵-2＜0，w隨t的增大而減小，∴當t=5時，w最大值為45，∵45＜46，

∴當t=4時，W取得最大值為46萬.

故答案為：(1)y1=2x，；(2)；（3）當t=4時，W取得最大值為46萬.