Question

已知：如圖，在等腰直角△ABC中，AC=BC，斜邊AB的長為4，過點C作射線CP//AB，D為射線CP上一點，E在邊BC上（不與B、C重合），且∠DAE=45°，AC與DE交于點O．

（1）求證：△ADE∽△ACB；
（2）設CD=x，BAE = y，求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；
（3）如果△COD與△BEA相似，求CD的值．

Answer 1

(1)略；（2）y= ，定義域0＜x＜2；（3）當CD=時，△COD與△BEA相似．

試題分析：
(1)根據等腰三角形的性質，得出角相等，然后角的等量代換，得出其余角相等，即可證明三角形相似；
由（1）的結論可以得到線段成比例，解直角三角形即可求出函數解析式，并確定定義域；
先由相似得出線段比例關系，設未知數解方程即可.
試題解析：
（1）證明：∵△ACB是等腰直角三角形
∴∠CAB＝∠B=45°
∵CP//AB
∴∠DCA＝∠CAB=45°
∴∠DCA＝∠B
∵∠DAE=45°
∴∠DAC+∠CAE=∠CAE+∠EAB
∴∠DAC=∠EAB
∴△DCA∽△EAB
∴
即且∠DAE=∠CAB=45°
∴△ADE∽△ACB．
（2）過點E作EH⊥AB于點H
由（1）得△DCA∽△EAB
∴
∵△ACB是等腰直角三角形，且CD=x
∴EB=x
∴EH=BH=x
∴AH=4—x
在Rt△AEH中，BAE=
即y=
定義域0＜x＜2．
（3）若△COD與△BEA相似，又△BEA與相似△DCA
即△COD與△DCA相似
∴只有△DCO∽△ACD
∴
∵∠DAO＝∠CEO
∴∠CEO＝∠EAB
∴tan∠CEO＝y
即
∴
∴
解得，
經檢驗都是原方程的實數根，不合題意舍去
∴當CD=時，△COD與△BEA相似．