Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0，

（1）求證：無論k取什么實數值，該方程總有兩個不相等的實數根？

（2）當Rt△ABC的斜邊a＝，且兩條直角邊的長b和c恰好是這個方程的兩個根時，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3

【解析】

（1）根據根的判別式的符號來證明；

（2）根據韋達定理得到b+c=2k+1，bc=4k-3．又在直角△ABC中，根據勾股定理，得（b+c）2﹣2bc＝（）2，由此可以求得k的值．

（1）證明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（4k﹣3）＝4k2﹣12k+13＝（2k﹣3）2+4，

∴無論k取什么實數值，總有＝（2k﹣3）2+4＞0，即△＞0，

∴無論k取什么實數值，該方程總有兩個不相等的實數根；

（2）解：∵兩條直角邊的長b和c恰好是方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0的兩個根，得

∴b+c＝2k+1，bc＝4k﹣3，

又∵在直角△ABC中，根據勾股定理，得

b2+c2＝a2，

∴（b+c）2﹣2bc＝（）2，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，

整理后，得k2﹣k﹣6＝0，解這個方程，得k＝﹣2或k＝3，

當k＝﹣2時，b+c＝﹣4+1＝﹣3＜0，不符合題意，舍去，當k＝3時，b+c＝2×3+1＝7，符合題意，故k＝3．