Question

如圖，直線MN交⊙O于A、B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過
D作DE⊥MN于E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

解：（1）證明：連接OD，
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA。
∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE。∴DO∥MN。
∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM =90°，即OD⊥DE。
∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線。
（2）連接CD，

∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴AD= 。
∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=∠AED =90°。
∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE。 ∴，即。
解得：AC=15。 
∴⊙O的半徑是7.5cm。

（1）連接OD，根據平行線的判斷方法與性質可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切線。
（2）由勾股定理，可得AD的長，又由△ACD∽△ADE．根據相似三角形的性質列出比例式，代入數據即可求得圓的半徑。