Question

如圖，OABC是一個放在平面直角坐標系中的矩形，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=3，OC=4，平行于對角線AC的直線m從原點O出發，沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，設直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點M、N，直線運動的時間為t(秒)．

(1)寫出點B的坐標；
(2)t為何值時，MN=AC；
(3)設△OMN的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；當t為何值時，S有最大值?并求S的最大值．

Answer 1

(1)點B的坐標是(3，4)（2）當t=1.5秒或t=4.5秒時，MN=AC．
(3) 拋物線S="-" t²+4 t，當t=3時，S有最大值6．

解析試題分析：解：(1)點B的坐標是(3，4) (2)當t=1.5秒或t=4.5秒時，MN=AC(3) 當t=3時，S有最大值6．

(2)當0<t≤3時，(圖1)
∵MN∥AC,且MN=AC，
∴M是OA的中點．
∴t=1.5秒．

當3＜t＜6時，(圖2)
設直線m與x軸交點為D，
∵MN∥AC且MN=AC，
∴M為AB的中點．
可證：△AMD≌△BMN．
∴BN=AD=t-3．
∴△BMN～△BAC．
∴
∴=.
∴t=4.5秒．
當t=1.5秒或t=4.5秒時，MN=AC．

(3)當0<t≤3時，OM=t．(圖3)
由△OMN～△OAC，得，
∴ON=t，S=t²．
當3＜ t＜6時，(圖4)
∵OD= t,∴AD= t-3．
易知四邊形ADNC是平行四邊形,∴CN=AD=t-3．BN=6-t．
由△BMN～△BAC，可得BM=BN=8-t，∴AM=-4+t．
S=矩形OABC的面積－Rt△OAM的面積－Rt△MBN的面積－Rt△NCO的面積
=12－ (－4+t) － ×(8－t)(6－t) － (t－3)
=－t²+4t．
當0<t≤3時，
∵拋物線S= t²的開口向上，在對稱軸t =0的右邊，S隨t的增大而增大，
∴當t =3時，S可取到最大值×3²=6．
當3＜t＜6時，
∵拋物線S="-" t²+4 t的開口向下，它的頂點是(3，6)，
∴S＜6.             綜上，當t=3時，S有最大值6．
考點：二次函數的綜合題型
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有矩形的性質、三角形中位線定理、全等三角形及相似三角形的判定和性質、二次函數的應用等．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．