Question

如圖，OABC是一個放在平面直角坐標系中的矩形，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=3，OC=4，平行于對角線AC的直線m從原點O出發，沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，設直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點M、N，直線運動的時間為t（秒）．
（1）寫出點B的坐標；
（2）t為何值時，MN=AC；
（3）設△OMN的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；當t為何值時，S有最大值？并求S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于四邊形OABC是矩形，可直接根據OA、OC的長寫出B點的坐標；
（2）此題要分兩種情況考慮：
①M在線段OA上，N在線段OC上時，即0＜t≤3時，若MN=AC，則MN是△OAC的中位線，此時OA=2OM，據此可求出t的值；
②M在線段AB上，N在線段BC上時，即3＜t＜6時，若MN=AC，則MN是△ABC的中位線，設直線m與x軸的交點為D，可證得△AMD≌△BMN，由此可得BN=AD，進而可求出OD的長及t的值；
（3）參照（2）的解題思路，此題也要分作兩種情況：
①當0＜t≤3時，M在線段OA上，N在線段OC上；可用t分別表示出OM、ON的長，進而可求出S、t的函數關系式；
②當3＜t＜6時，M在線段AB上，N在線段BC上；此時△OMN的面積，可由矩形OABC、△OMD、△OCN的面積差求得；
得出相關的函數解析式后，根據函數的性質及對應的自變量的取值范圍，即可求出S的最大值及對應的t的值．
解答：解：（1）點B的坐標是（3，4）；（1分）

（2）當0＜t≤3時，∵MN∥AC，且MN=AC，
∴M是AB的中點；
∴t=1.5秒；
當3＜t＜6時，
設直線m與x軸交點為D，
∵MN∥AC且MN=AC，
∴M為AB的中點；
可證：△AMD≌△BMN；
∴BN=AD=t-3；
∴△BMN∽△BAC；
∴
∴=；
∴t=4.5秒；
當t=1.5秒或t=4.5秒時，MN=AC；（3分）

（3）當0＜t≤3時，OM=t；
由△OMN∽△OAC，得，
∴ON=t，S=t²；（4分）
當3＜t＜6時，
∵OD=t，
∴AD=t-3；
易知四邊形ADNC是平行四邊形，
∴CN=AD=t-3，BN=6-t；
由△BMN∽△BAC，可得BM=BN=8-t，
∴AM=-4+t；
S=S_矩形OABC-S_Rt△OAM-S_Rt△MBN-S_Rt△NCO
=12-（-4+t）-×（8-t）（6-t）-（t-3）
=-t²+4t；
當0＜t≤3時，
∵拋物線S=t²的開口向上，在對稱軸t=0的右邊，S隨t的增大而增大，
∴當t=3時，S可取到最大值×3²=6．
當3＜t＜6時，
∵拋物線S=-t²+4t的開口向下，它的頂點是（3，6），
∴S＜6；（8分）
綜上，當t=3時，S有最大值6．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有矩形的性質、三角形中位線定理、全等三角形及相似三角形的判定和性質、二次函數的應用等．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．