Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=8，點E、F分別在AD和AB上，AE=3，AF=4．

（1）點P在邊BC上運動、四邊形EFPH是平行四邊形，連接DH．

①當四邊形FPHE是菱形時，線段BP=_____；

②當點P在邊BC上運動時，△DEH的面積會不會變化？若變化，求其最大值；若不變，求出它的值；

③當△DEH是等腰三角形時，求BP的長；

（2）若點E沿E-D-C向終點C運動，點F沿F-B-C終點C運動，速度分別為每秒3個單位長度和每秒4個單位長度，當其中一個點到達終點C時，另一個點也停止運動，求EF的中點O的運動路徑長(要求寫出簡略的計算過程)

Answer 1

【答案】（1）①3；②不變，10；③3或2.5或2；（2）

【解析】

（1）①由菱形的性質知EF=PF，再由Rt△AEF≌Rt△BPF即可得BP=AE=3；

②過H作MN∥AB，延長EH與BC相交于G，易得四邊形ABNM為矩形，然后證明△BPF≌△MEH，可得MH=BF=4，則△DEH的面積不變；

③分別討論EH=HD，EH=ED，HD=ED，利用等腰三角形的性質求解；

（2）易得運動3秒后停止運動，建立坐標系，計算得出1秒，秒，3秒時，E，F的坐標，從而得到中點O的坐標，即可得出運動路徑長．

（1）①∵四邊形FPHE是菱形

∴EF=PF

在Rt△AEF和Rt△BPF中，

∵EF=PF，AF=BF=4

∴Rt△AEF≌Rt△BPF（HL）

∴BP=AE=3；

②如圖，過H作MN∥AB，延長EH與BC相交于G，

∵AM∥BN，MN∥AB

∴四邊形ABNM為平行四邊形

又∵∠A=90°

∴四邊形ABNM為矩形

∴MN⊥BN

∴MH為△DEH的高

∵EG∥FP

∴∠HGN=∠FPB

∵∠HGN+∠GHN=90°，∠FPB=∠PFB=90°

∴∠PFB=∠GHN

又∵∠GHN=∠EHM

∴∠PFB=∠EHM

在△BPF和△MEH中，

∠PBF=∠EMH=90°，∠PFB=∠EHM，PF=EH

∴△BPF≌△MEH（AAS）

∴MH=BF=4，

∴△DEH的高為4，底邊長為8-3=5

S△DEH=

即△DEH的面積不變，為10

③當EH=HD時，EM=MD=ED=

∴BP=EM=

當EH=ED時，EH=PF=ED=5

在Rt△BPF中，

當HD=ED時，

在Rt△DHM中，

EM=5-3=2

∴BP=EM=2

綜上所述，BP的長為3或2.5或2

（2）E點運動到C需要時間為秒，F點運動到C需要時間為秒，

∴運動3秒時，停止運動

如圖建立坐標系，則E(3,8)，F(0,4)，O(,6)

1秒時，F運動到B點，坐標F1(0,0)，E點運動到E1(6,8)

此時中點O1（3,4）

秒時，E點運動到D，坐標E2（8,8）

F點運動到F2，坐標為（,0），則中點O2（,4）

3秒時，E點運動到E3，坐標為（8,4）

F點運動到C點，坐標為（8,0），則中點O3（8,2）

∴中點O的運動路徑長為