Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB為直徑的OO與BC相交于點D，與AC相交于點E，DF⊥AC，垂足為F，連接DE，過點A作AG⊥DE，垂足為G，AG與⊙O交于點H．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若∠CAG＝25°，求弧AH的長；

（3）若tan∠CDF＝，求AE的長；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）6

【解析】

（1）連接OD、AD，根據圓周角定理得到∠ADB＝90°，求得OD∥AC，根據平行線的性質得到OD⊥DF，根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）連接OH，根據三角形的內角和得到∠AEG＝65°，求得∠B＝∠AEG＝65°，求得∠AOH＝30°，根據弧長公式即可得到結論；

（3）根據余角的性質得到∠CAD＝∠CDF，求出tan∠CAD＝tan∠CDF＝，根據勾股定理得到CD＝2，根據相似三角形的性質得到CF＝2，于是得到結論．

（1）證明：連接OD、AD，

AB是⊙O的半徑，

∴∠ADB＝90°，

∵AB＝AC，

∵點D是BC的中點，O是AB的中點，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∵OD是⊙O的半徑，

DF是⊙O的切線；

（2）解：連接OH，

∵AG⊥DG，∴∠G＝90°，

∵∠CAG＝25°，

∴∠AEG＝65°，

∴∠B＝∠AEG＝65°，

∴∠BAC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，

∴∠OAH＝75°，

∴∠AOH＝30°，

∴l弧AH＝；

（3）解：∵∠CAD+∠C＝90°，∠CDF+∠C＝90°，

∴∠CAD＝∠CDF，

∴tan∠CAD＝tan∠CDF＝，

∴AD＝2CD，

∴DC2+（2CD）2＝102，

∴CD＝2，

∵△CDF∽△CAD，

∴DC2＝CFAC，

∴CF＝2，

∴CD＝DE，

∵OF⊥AC，

∴EF＝CF＝2，

∴AE＝10﹣2﹣2＝6．