Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB與直線y＝x相交于點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)A（0，6）．

（1）求直線AB的解析式；

（2）動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作直線y＝x的垂線，垂足為C，連接AP，AP的中點(diǎn)為D，連接CD，設(shè)CD＝d，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，求d與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)tan∠APC＝時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】(1) y＝﹣x+6；(2)見(jiàn)解析;(3)t=或9.

【解析】

（1）根據(jù)題意將點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入y＝x中可以求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求得直線AB的解析式，用代入系數(shù)法求；
（2）根據(jù)題意可以畫(huà)出相應(yīng)的圖形，然后利用分類討論的方法可以求得d與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）根據(jù)（2）中的條件和圖形，可以求得相應(yīng)的t的值．

解：（1）∵直線AB與直線y＝x相交于點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3），

設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b（k≠0），

將A（0，6），B（3，3）代入y＝kx+b，得

，

解得：，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+6；

（2）如圖一所示，

∵點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0），

∵點(diǎn)D為AP得中點(diǎn)，點(diǎn)A（0，﹣6），

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，3），

∵PC⊥OB，直線OB的解析式為y＝x，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0），

∴∠PCO＝90°，∠BOP＝45°，

∴OC＝t，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（，），

∵CD＝d，

∴d＝＝3﹣（0＜t≤3）；

如圖二所示，

∵點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0），

∵點(diǎn)D為AP得中點(diǎn)，點(diǎn)A（0，﹣6），

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，3），

∵PC⊥OB，直線OB的解析式為y＝x，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0），

∴∠PCO＝90°，∠BOP＝45°，

∴OC＝t，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（，），

∵CD＝d，

∴d＝＝﹣3（t＞3）；

（3）如圖一所示，作DE⊥OB于點(diǎn)E，

∵PC⊥OB，DE⊥OB，

∴PC∥DE，

∴∠EDP＝∠APC，

∵DC＝3﹣，點(diǎn)D（，3），點(diǎn)C（，），

∴DC⊥x軸，

∴∠CDE＝45°，

∴CE＝DE＝＝，

∵PC＝t，tan∠APC＝，

∴tan∠EDP＝，

∴，

解得，t＝；

如圖二所示，作DE⊥OB于點(diǎn)E，

∵PC⊥OB，DE⊥OB，

∴PC∥DE，

∴∠EDP＝∠APC，

∵DC＝﹣3，點(diǎn)D（，3），點(diǎn)C（，），

∴DC⊥x軸，

∴∠CDE＝45°，

∴CE＝DE＝＝，

∵PC＝t，tan∠APC＝，

∴tan∠ADE＝，

∴，

解得，t＝9．