Question

【題目】設a，b是實數，定義@的一種運算如下：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，則下列結論：①若a@b＝0，則a＝0或b＝0；②a@（b+c）＝a@b+a@c；③不存在實數a，b，滿足a@b＝a2+5b2；④設a，b是矩形的長和寬，若矩形的周長固定，則當a＝b時，a@b最大．其中正確的是_____．

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

根據新定義可以計算出各個小題中的結論是否成立，從而可以判斷各個小題中的說法是否正確，從而可以得到哪個選項是正確的．

解：①根據題意得：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2

∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝0，

整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）＝0，即4ab＝0，

解得：a＝0或b＝0，正確；

②∵a@（b+c）＝（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2＝4ab+4ac

a@b+a@c＝（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2＝4ab+4ac，

∴a@（b+c）＝a@b+a@c，正確；

③a@b＝a2+5b2，a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，

令a2+5b2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，

顯然：當時，上式成立，

故③錯誤；

④∵a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，

a，b是矩形的長和寬，若矩形的周長固定，

則周長為：

有最大值，

當時， 有最大值，

此時：

即：a＝b，

∴a@b最大時，a＝b，故④正確．

故答案為：①②④．