Question

【題目】已知，和都是等腰直角三角形，．

（1）如圖1，點、都在外部，連接、、、、與相交于點，判斷與的關系，說明理由，若，求四邊形的面積；

（2）如圖2，點在內部，點在的外部，連接、、、，當，時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）BD=CE，BD⊥CE；50；（2）10

【解析】

（1）證明△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，證出BD⊥CE，根據S四邊形BCDE=S△BCE+S△DCE可求出答案；
（2）延長BD交AC于點O，交CE于點F，同（1）可得△ABD≌△ACE，可證出BD⊥CE，得出BE2+CD2=BC2+DE2，即可求解．

解：（1）BD=CE，BD⊥CE，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠CAE=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠DBC+∠ACE=90°，
∴∠BFC=90°，即BD⊥CE；
∴S四邊形BCDE=S△BCE+S△DCE=×CE×BF+×CE×DF=×CE×BD=×10×10=50；

（2）延長BD交AC于點O，交CE于點F，

同（1）△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠AOB=∠COF，
∴∠BAC=∠BFC=90°，
∴BD⊥CE，
∴BE2=BF2+EF2，CD2=CF2+DF2，
∴BE2+CD2=BF2+EF2+CF2+DF2，
∵BF2+CF2=BC2，DF2+EF2=DE2，
∴BE2+CD2=BC2+DE2，
∵AE=1，AC=2，
∴DE=AE=，BC=AC=2，

∴BE2+CD2＝(2)2+()2=8+2=10．