Question

（2005•十堰）如圖，已知拋物線y=x²-2x+n與x軸交于不同的兩點A，B，其頂點是C，D是拋物線的對稱軸與x軸的交點．
（1）求實數n的取值范圍．
（2）求頂點C的坐標；
（3）求線段AB的長；
（4）若直線y=x+1分別交x軸于E，交y軸于F，問△BDC與△EOF是否有可能全等？如果有可能全等請給出證明；如果不可能全等請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線與x軸有兩個不同的交點，因此令y=0，得出的方程的△＞0，據此可求出n的取值范圍．
（2）本題用公式法或配方法求解均可．
（3）可求出A、B的橫坐標，進而可得出BA的長（也可用韋達定理求解）．
（4）先根據直線的解析式求出OE，OF的長，然后看這兩個直角三角形的對應邊能否對應相等即可．
解答：解：（1）令y=0，則有：x²-2x+n=0，
依題意有：△=4-4n＞0，
∴n＜1．
由于拋物線與y軸的交點在y軸正半軸上，
因此0＜n＜1．

（2）y=x²-2x+n=（x-1）²+n-1，
∴C（1，n-1）．

（3）令y=0，x²-2x+n=0，
解得x=1+，x=1-，
∴B（1+，0），A（1-，0），
∴AB=2．

（4）易知：E（-，0），F（0，1），
∴OE=，OF=1．
由（2）（3）可得BD=，CD=1-n，
①當OE=CD時，1-n=，=≠1，因此BD≠OF，
∴兩三角形不可能全等．
②當OE=BD時，=，1-n=≠1，因此CD≠OF，
∴兩三角形不全等．
綜上所述，△BDC與△EOF不可能全等．
點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系，全等三角形的判定等知識點．