Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A，B兩點(點A在點B左側)，與y軸交于點C，且當x＝0和x＝2時，y的值相等，直線y＝3x－7與這條拋物線交于兩點，其中一點橫坐標為4，另一點是這條拋物線的頂點M.

(1)求頂點M的坐標．

(2)求這條拋物線對應的函數解析式．

(3)P為線段BM上一點(P不與點B，M重合)，作PQ⊥x軸于點Q，連接PC，設OQ＝t，四邊形PQAC的面積為S，求S與t的函數解析式，并直接寫出t的取值范圍．

(4)在線段BM上是否存在點N，使△NMC為等腰三角形？若存在，求出點N的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) M(1，－4)(2)y＝x2－2x－3(3) S＝－t2＋t＋(1＜t＜3)(4)存在．點N的坐標為(，－)，(1＋，－4)或(2，－2)

【解析】

（1）由題意得，拋物線的對稱軸為直線x＝1，頂點M在直線y＝3x－7上，將x=1代入直線解析式求解即可；

（2）先求出拋物線與直線另一交點的坐標為(4，5)，然后設拋物線解析式的頂點式為y＝a(x－1)2－4，再將（4,5）代入求解即可；

（3）由圖可知四邊形PQAC是一個不規則圖形，先將其面積分割成S△AOC和S梯形OCPQ兩部分，易知△AOC為直角三角形，梯形COPQ為直角梯形，進而可得S與t之間的函數；

（4）設N點的坐標為(m，2m－6)且1<m<3，則CM2＝12＋12＝2，CN2＝m2＋(2m－3)2，

MN2＝(m－1)2＋(2m－2)2，然后分三種情況分別求出m的值即可得解.

(1)∵當x＝0和x＝2時，y的值相等，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，

∴頂點M的橫坐標為1，

又∵頂點M在直線y＝3x－7上，

∴y＝－4，

∴M(1，－4)；

(2)把x＝4代入y＝3x－7，

解得y＝5，

設拋物線對應的函數解析式為y＝a(x－1)2－4，

將點(4，5)的坐標代入得a＝1，

∴拋物線對應的函數解析式為y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3；

(3)由y＝x2－2x－3，可得A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，

∴直線MB對應的函數解析式為y＝2x－6，

∴P(t，2t－6)，

∵P為線段BM上一點(P不與點B，M重合)，

∴1＜t＜3，

∴S＝S△AOC+S梯形OCPQ=×1×3＋ (3＋6－2t)t=－t2＋t＋ (1＜t＜3)．

(4)存在．假設存在這樣的點N，使△NMC為等腰三角形．

∵點N在BM上，

∴不妨設N點的坐標為(m，2m－6)且1<m<3，

則CM2＝12＋12＝2，CN2＝m2＋(2m－3)2，MN2＝(m－1)2＋(2m－2)2，

△NMC為等腰三角形，有以下三種可能：

①若CN＝CM，則m2＋(2m－6＋3)2＝2，

解得m＝或m＝1(舍去)，

∴N(，)；

②若CM＝MN，則(m－1)2＋(2m－6＋4)2＝2，

解得m＝1±，

∵1<m<3，

∴m＝1－舍去，

∴N(1+，﹣4)；

③若CN＝MN，則m2＋(2m－6＋3)2＝(m－1)2＋(2m－6＋4)2，

解得m＝2，

∴N(2，－2)；

綜上，點N的坐標為(，)，(1+，﹣4)或(2，－2)．