Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．點P從點O開始沿OA邊向點A以1厘米/秒的速度移動；點Q從點B開始沿BO邊向點O以1厘米/秒的速度移動．如果P、Q同時出發，用t（秒）表示移動的時間（0≤t≤6），那么
（1）設△POQ的面積為y，求y關于t的函數解析式；
（2）當△POQ的面積最大時，將△POQ沿直線PQ翻折后得到△PCQ，試判斷點C是否落在直線AB上，并說明理由；
（3）當t為何值時，△POQ與△AOB相似．

Answer 1

分析：（1）根據P、Q的速度，用時間t表示出OQ和OP的長，即可通過三角形的面積公式得出y，t的函數關系式；
（2）先根據（1）的函數式求出y最大時，x的值，即可得出OQ和OP的長，然后求出C點的坐標和直線AB的解析式，將C點坐標代入直線AB的解析式中即可判斷出C是否在AB上；
（3）本題要分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA兩種情況進行求解，可根據各自得出的對應成比例相等求出t的值．

解答：解：（1）∵OA=12，OB=6，由題意，得BQ=1×t=t，OP=1×t=t．
∴OQ=6-t．
∴y=

1

2

×OP×OQ=

1

2

×t（6-t）=-

1

2

t²+3t（0≤t≤6）；

（2）∵y=-

1

2

t²+3t，
∴當y有最大值時，t=3
∴OQ=3，OP=3，即△POQ是等腰直角三角形．
把△POQ沿直線PQ翻折后，可得四邊形OPCQ是正方形．
∴點C的坐標為（3，3）．
∵A（12，0），B（0，6），
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+6
當x=3時，y=

9

2

≠3，
∴點C不落在直線AB上；
（3）
①若△POQ∽△AOB時，

OQ

OB

=

OP

OA

，即

6-t

6

=

t

12

，12-2t=t，∴t=4．
②若△POQ∽△BOA時，

OQ

OA

=

OP

OB

，即

6-t

12

=

t

6

，6-t=2t，∴t=2．
∵0≤t≤6，
∴t=4和t=2均符合題意，
∴當t=4或t=2時，△POQ與△AOB相似．

點評：本題主要考查了直角三角形的性質、圖形的翻折變換、相似三角形的判定和性質等知識點．要注意（3）題要根據不同的相似三角形分類進行討論．