Question

【題目】如圖，是等邊三角形，點、分別在、上，且，，、相交于點，連接，則下列結論：①；②；③；④，正確的結論有（ ）

A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個

Answer 1

【答案】A

【解析】

本題是開放題，對結論進行一一論證，從而得到答案．
①利用△ABD≌△BCE，再用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和，即可證∠AFE=60°；
②從CD上截取CM=CE，連接EM，證△CEM是等邊三角形，可證明DE⊥AC；
③△BDF∽△ADB，由相似比則可得到CE2=DFDA；
④只要證明了△AFE∽△BAE，即可推斷出AFBE=AEAC．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°.

∵BD=BC，CE=AC,

∴BD=EC.

∴△ABD≌△BCE.

∴∠BAD=∠CBE，

∵∠ABE+∠EBD=60°,

∴∠ABE+∠CBE=60°.

∵∠AFE是△ABF的外角,

∴∠AFE=60°.

∴①是對的；

如圖，從CD上截取CM=CE，連接EM，則△CEM是等邊三角形,

∴EM=CM=EC.

∵EC=CD,

∴EM=CM=DM.

∴∠CED=90°.

∴DE⊥AC，

∴②是對的；

由前面的推斷知△BDF∽△ADB.

∴BD:AD=DF:DB.

∴BD2=DFDA.

∴CE2=DFDA.

∴③是對的；

在△AFE和△BAE中,∠BAE=∠AFE=60°，∠AEB是公共角

∴△AFE∽△BAE.

∴AFBE=AEAC.

∴④是正確的.

故答案選A.