Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點．△ABC的邊BC在x軸上，A、C兩點的坐標分別為A（0，m）、C（n，0），B（-5，0），且(n-3)2+

3m-12

=0，點P從B出發，以每秒2個單位的速度沿射線BO勻速運動，設點P運動時間為t秒．
（1）求A、C兩點的坐標；
（2）連接PA，用含t的代數式表示△POA的面積；
（3）當P在線段BO上運動時，在y軸上是否存在點Q，使△POQ與△AOC全等？若存在，請求出t的值并直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據偶次方和算術平方根的非負性得出n-3=0，3m-12=0，求出即可；
（2）分為三種情況：當0≤t＜

5

2

時，P在線段OB上，②當t=

5

2

時，P和O重合，③當t＞

5

2

時，P在射線OC上，求出OP和OA，根據三角形的面積公式求出即可；
（3）分為四種情況：①當BP=1，OQ=3時，②當BP=2，OQ=4時，③④利用圖形的對稱性直接寫出其余的點的坐標即可．

解答：解：（1）∵(n-3)2+

3m-12

=0，
∴n-3=0，3m-12=0，
n=3，m=4，
∴A的坐標是（0，4），C的坐標是（3，0）；

（2）∵B（-5，0），
∴OB=5，
①當0≤t＜

5

2

時，P在線段OB上，如圖1，
∵OP=5-2t，OA=4，
∴△POA的面積S=

1

2

×OP×AP=

1

2

×（5-2t）×4=10-4t；
②當t=

5

2

時，P和O重合，此時△APO不存在，即S=0；
③當t＞

5

2

時，P在射線OC上，如備用圖2，
∵OP=2t-5，OA=4，
∴△POA的面積S=

1

2

×OP×AP=

1

2

×（2t-5）×4=4t-10；

（3）當P在線段BO上運動時，在y軸上存在點Q，使△POQ與△AOC全等，
∵P在線段BO上運動，
∴t≤5÷2=2.5，
①當BP=1，OQ=3時，△POQ和△AOC全等，
此時t=

1

2

，Q的坐標是（0，3）；
②當BP=2，OQ=4時，△POQ和△AOC全等，
此時t=

2

2

=1，Q的坐標是（0，4）；
③④由對稱性可知Q為（0，-3）、（0，-4）
綜上所述，t=

1

2

或1時，Q的坐標是（0，3）或（0，4）或（0，-3）或（0，-4）．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，偶次方和算術平方根的非負性，三角形的面積，坐標與圖形性質等知識點的綜合運用，關鍵是求出符合條件的所有情況，是一道比較容易出錯的題目．