Question

【題目】如圖，拋物線的圖象經過點，，，已知點的坐標為，點坐標為，點在軸的正半軸，且．

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）若直線從點開始沿軸向下平移，分別交軸、軸于點、．

①當時，在線段上否存在點，使得點，，構成等腰直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

②以動直線為對稱軸，線段關于直線的對稱線段與二次函數圖象有交點，請直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）①點P的坐標是（，）或（36，3）或（，）； ②．

【解析】

（1）如圖1，連結AC．在Rt△AOC中，∠CAB=30°，根據三角函數可得C（0，），根據待定系數法可求拋物線解析式；

（2）①由題意可知，OE=m，OD，∠DEO=30°，根據等腰直角三角形的判定與性質分三種情況：

（i）如圖2，當PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x軸；

（ii）如圖3，當PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y軸；

（iii）如圖4，當DP⊥DE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC；進行討論可求點P的坐標；

②動直線l與直線AC的交點為C和動直線l與y軸的交點在x軸下面，并且與前面的直線平行，可求m的取值范圍．

（1）如圖1，連結AC．在Rt△AOC中，∠CAB=30°．

∵A（﹣3，0），即OA=3，

∴OC，即C（0，），

設拋物線解析式為，

將A（﹣3，0），B（1，0）代入得．

解得，

∴；

（2）①由題意可知，OE=m，OD，∠DEO=30°，

由A（﹣3，0），C（0，）得到直線AC的解析式為：yx

（i）如圖2，當PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x軸，

∴∠PQD=∠EOD=90°，∠PDQ+∠EDO=90°，∠EDO+∠DEO=90°，∴∠DEO=∠PDQ=30°，

在△DPQ與△EDO中，

，

∴△DPQ≌△EDO（AAS），

∴DQ=OE=m．

∵∠PAQ=∠PDQ=30°，

∴PA=PD，

∴AQ=DQ=m，

∴OA=2m3，

∴；

此時P（，）

（ii）如圖3，當PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y軸，

同理可得CQ=EQ=OD，

∵OC=m，

∴；

此時P（36，3）

（iii）如圖4，當DP⊥PE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC，

同理可得AP=AD，PN=DM，CN，

∴AC，

∴；

此時P（，）．

綜上所述：點P的坐標是（，）或（36，3）或

（，）．

②當x=0，y時，0+m，解得：m；

當x=0，y時，0+m，解得：m．

故m的取值范圍為：．