Question

14、如圖，已知等邊△ABC邊長為1，D是△ABC外一點且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．
求證：△AMN的周長等于2．

Answer 1

分析：延長AC到E，使CE=BM，連接DE，求證△BMD≌△CDE可得∠BDM=∠CDE，進而求證△MDN≌△EDN可得MN=NE=NC+CE=NC+BM，即可計算△AMN周長，即可解題．

解答：解：延長AC到E，使CE=BM，連接DE，（如圖）

∵BD=DC，∠BDC=120°，
∴∠CBD=∠BCD=30°，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，
∴△BMD≌△CDE，
∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，
∴∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=60°，
∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，
又∵DN=DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，
所以△AMN周長=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2．

點評：本題考查了全等三角形的證明和全等三角形對應邊、對應角相等的性質，等邊三角形各邊長相等、各內角為60°的性質，本題中求證MN=NE=NC+CE=NC+BM是解題的關鍵．