Question

【題目】已知關于的一元二次方程x2－4x＋k＋1＝0

（1）若=－1是方程的一個根，求k值和方程的另一根；

（2）設x1，x2是關于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的兩個實數根，是否存在實數k，使得x1x2＞x1＋x2成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k= -6 ，方程的另一根是5．

（2）不存在．理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）把=－1代入方程即可求出k的值，利用根與系數的關系可求出方程的另一根；（2）利用根與系數的關系可得x1＋x2＝4，x1x2＝k＋1，代入x1x2＞x1＋x2求出k的取值范圍，然后利用Δ≥0，求出k的取值范圍，比較即可.

試題解析：（1）把=－1代入方程x2－4x＋k＋1＝0 ，得1+4＋k＋1＝0 ，解得k= -6 ，設另一個根為x，則x+（-1）=4，所以x=5，即方程的另一根是5．（4分）

（ 2 ）不存在．理由：由題意得Δ＝16－4（k＋1）≥0，解得k≤3．∵x1，x2是一元二次方程的兩個實數根，∴x1＋x2＝4，x1x2＝k＋1，由x1x2＞x1＋x2得k＋1＞4，∴k＞3，∴不存在實數k使得x1x2＞x1＋x2成立．（4分）