Question

根據要求，解答下列問題：
（1）已知直線l₁的函數表達式為y=x，請直接寫出過原點且與l₁垂直的直線l₂的函數表達式；
（2）如圖，過原點的直線l₃向上的方向與x軸的正方向所成的角為30°．
①求直線l₃的函數表達式；
②把直線l₃繞原點O按逆時針方向旋轉90°得到的直線l₄，求直線l₄的函數表達式．
（3）分別觀察（1）（2）中的兩個函數表達式，請猜想：當兩直線垂直時，它們的函數表達式中自變量的系數之間有何關系？請根據猜想結論直接寫出過原點且與直線y=-垂直的直線l₅的函數表達式．

Answer 1

解：（1）根據題意得：y=-x；

（2）①設直線l₃的函數表達式為y=k₁x（k₁≠0），
∵過原點的直線l₃向上的方向與x軸的正方向所成的角為30°，直線過一、三象限，
∴k₁=tan30°=，
∴直線l₃的函數表達式為y=x；
②∵l₃與l₄的夾角是為90°，
∴l₄與x軸的夾角是為60°，
設l₄的解析式為y=k₂x（k₂≠0），
∵直線l₄過二、四象限，
∴k₂=-tan60°=-，
∴直線l₄的函數表達式為y=-x；

（3）通過觀察（1）（2）中的兩個函數表達式可知，當兩直線互相垂直時，它們的函數表達式中自變量的系數互為負倒數關系，
∴過原點且與直線y=-垂直的直線l₅的函數表達式為y=5x．
分析：（1）根據題意可直接得出l₂的函數表達式；
（2）①先設直線l₃的函數表達式為y=k₁x（k₁≠0），根據過原點的直線l₃向上的方向與x軸的正方向所成的角為30°，直線過一、三象限，求出k₁=tan30°，從而求出直線l₃的函數表達式；
②根據l₃與l₄的夾角是為90°，求出l₄與x軸的夾角是為60°，再設l₄的解析式為y=k₂x（k₂≠0），根據直線l₄過二、四象限，求出k₂=-tan60°，從而求出直線l₄的函數表達式；
（3）通過觀察（1）（2）中的兩個函數表達式可得出它們的函數表達式中自變量的系數互為負倒數關系，再根據這一關系即可求出與直線y=-垂直的直線l₅的函數表達式．
點評：此題考查了一次函數的綜合，用到的知識點是銳角三角函數、一次函數的解析式的求法，關鍵是根據銳角三角函數求出k的值，做綜合性的題要與幾何圖形相結合，更直觀一些．