Question

【題目】已知：如圖1，在中，，∠ABC=30°，，點(diǎn)、E分別是邊、AC上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，DE∥BC．

（1）如圖1，當(dāng)AE=1時(shí)，求長(zhǎng)；

（2）如圖2，把沿著直線翻折得到，設(shè)

①當(dāng)點(diǎn)F落在斜邊上時(shí)，求的值；

② 如圖3，當(dāng)點(diǎn)F落在外部時(shí)，EF、DF分別與相交于點(diǎn)H、G，如果△ABC和△DEF重疊部分的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式及定義域．（直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

【答案】（1）BD=；（2）①x=2；②.

【解析】

（1）根據(jù)DE∥BC，可得∠ADE=30°，然后分別利用三角函數(shù)求出AB和AD即可；

（2）①設(shè)，則AE=EF=4－x，然后證明△CEF是等邊三角形即可解決問(wèn)題；

②由①可知CE=x，AE=EF=4－x，△CEF是等邊三角形，然后分別求出HF、FG和AD，利用三角形面積公式計(jì)算出和，進(jìn)而得到，然后根據(jù)列式整理，并求出定義域即可.

解：（1）∵，∠ABC=30°，，AE=1，

∴，

∵DE∥BC，

∴∠ADE=30°，

∴，

∴BD=AB－AD=；

（2）①設(shè)，則AE=4－x，

∴EF=4－x，

∵∠ADE=∠B =30°，

∴∠AED=∠C =60°，

∴∠CEF=180°－60°－60°=60°，

∴△CEF是等邊三角形，

∴CE=EF，即x=4-x，

∴x=2；

②由①可知CE=x，AE=EF=4－x，△CEF是等邊三角形，

∴HF=EF－EH=4－x－x=4－2x，∠FHG=∠CHE=60°，

∵∠F=∠A=90°，

∴FG=HF=，

∴，

∵AE= 4－x，∠ADE=30°，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵當(dāng)x=2時(shí)，點(diǎn)F落在斜邊上，

∴定義域?yàn)椋?/span>，

即.