Question

【題目】在直角坐標系中，O為坐標原點，點A坐標為（2，0），以OA為邊在第一象限內作等邊△OAB，C為x軸正半軸上的一個動點（OC＞2），連接BC，以BC為邊在第一象限內作等邊△BCD，直線DA交y軸于E點．

（1）求證：△OBC≌△ABD

（2）隨著C點的變化，直線AE的位置變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，請求出直線AE的解析式．

（3）以線段BC為直徑作圓，圓心為點F，當C點運動到何處時，直線EF∥直線BO；這時⊙F和直線BO的位置關系如何？請給予說明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）直線AE的位置不變，AE的解析式為：；（3）C點運動到處時，直線EF∥直線BO；此時直線BO與⊙F相切，理由見解析.

【解析】

（1）由等邊三角形的性質可得到OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠DBC，等號兩邊都加上∠ABC，得到∠OBC=∠ABD，根據“SAS”得到△OBC≌△ABD.（2）先由三角形全等，得到∠BAD=∠BOC=60°，由等邊△BCD，得到∠BAO=60°，根據平角定義及對頂角相等得到∠OAE=60°，在直角三角形OAE中，由OA的長，根據tan60°的定義求出OE的長，確定出點E的坐標，設出直線AE的方程，把點A和E的坐標代入即可確定出解析式.（3）由EA∥OB，EF∥OB，根據過直線外一點作已知直線的平行線有且只有一條，得到EF與EA重合，所以F為BC與AE的交點，又F為BC的中點，得到A為OC中點，由A的坐標即可求出C的坐標；相切理由是由F為等邊三角形BC邊的中點，根據“三線合一”得到DF與BC垂直，由EF與OB平行得到BF與OB垂直，得證.

（1）證明：∵△OAB和△BCD都為等邊三角形，
∴OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠DBC=60°，

∴∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD，

在△OBC和△ABD中，

,

∴△OBC≌△ABD.

（2）隨著C點的變化，直線AE的位置不變，

∵△OBC≌△ABD，

∴∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠BAO=60°，

∴∠DAC=60°，
∴∠OAE=60°，又OA=2，
在Rt△AOE中，tan60°=，
則OE=2，

∴點E坐標為（0，-2），

設直線AE解析式為y=kx+b，把E和A的坐標代入得：

，

解得， ，

∴直線AE的解析式為：.

（3）C點運動到處時，直線EF∥直線BO；此時直線BO與⊙F相切，理由如下：
∵∠BOA=∠DAC=60°，EA∥OB，又EF∥OB，
則EF與EA所在的直線重合，

∴點F為DE與BC的交點，
又F為BC中點，

∴A為OC中點，又AO=2，則OC=4，
∴當C的坐標為（4，0）時，EF∥OB，
這時直線BO與⊙F相切，理由如下：
∵△BCD為等邊三角形，F為BC中點，
∴DF⊥BC，又EF∥OB，
∴FB⊥OB，

∴直線BO與⊙F相切，