Question

細心觀察圖形，認真分析各式，然后回答問題：
1+（

1

）²=2    S₁=

1

2

1+（

2

）²=3       S₂=

2

2

1+（

3

）²=4       S₃=

3

2

…
（1）請用含有n（n是正整數）的等式表示上述變化規律

S_n=

n

2

；
（2）推算出OA₁₀的長

10

；
（3）S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²的值等于

55

4

．

Answer 1

分析：（1）分別求出S₁、S₂、S₃…S_n，找出規律即可；
（2）根據勾股定理求出OA₁，OA₂，…OA₁₀即可；
（3）首先求出S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²的通項公式，然后把n=10代入即可．

解答：解：（1）1+（

1

）²=2，S₁=

1

2

；1+（

2

）²=3，S₂=

2

2

；1+（

3

）²=4，S₃=

3

2

…S_n=

n

2

，
（2）OA₂=

OA12+A1A22

=

2

，OA₃=

3

，…OA₁₀=

10

；
（3）S12=

1

4

，S22=

2

4

，S32=

3

4

，…Sn2=

n

4

，
S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²=

1

4

+

2

4

+…+

n

4

=

n(n+1)

8

，
當n=10時，S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²=

55

4

．
故答案為S_n=

n

2

，

10

，

55

4

．

點評：本題主要考查勾股定理的知識點，解答本題的關鍵是熟練運用勾股定理，此題難度不大．