Question

【題目】為迎接北京2022年冬奧會，某工藝廠準備生產奧運會標志與奧運會吉祥物，該廠主要用甲、乙兩種原料．已知生產一套奧運會標志需要甲原料和乙原料分別為4盒和3盒，生產一套奧運會吉祥物需要甲原料和乙原料分別為5盒和10盒．該廠購進甲、乙原料的量分別為20000盒和30000盒，如果所進原料全部用完．

（1）求該廠能生產奧運會標志和奧運會吉祥物各多少套？

（2）如果奧運會標志的成本為16元，奧運會吉祥物的成本為15元，若東營客商購進奧運會標志和奧運會吉祥物共250件進行試銷，其中奧運會標志的件數不大于奧運會吉祥物的件數，且不小于80件，已知奧運會標志的售價為24元/件，奧運會吉祥物的售價為22元/件，且全部售出，設購進奧運會標志m件，求該客商銷售這批商品的利潤y與m之間的函數關系式，并寫出m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，東營客商決定在試銷活動中毎售出一件奧運會標志，就從一件奧運會標志的利潤中捐獻慈善資金a元，求該客商售完所有商品并捐獻資金后獲得的最大收益．

Answer 1

【答案】（1）該廠能生產奧運會標志2000套，能生產奧運會吉祥物2400套；（2）80≤m≤125；（3）當m＝80時，w取最大值，最大收益為[80（1﹣a）+1750]元．

【解析】

（1）設該廠能生產奧運會標志x套，能生產奧運會吉祥物z套，根據該廠購進甲、乙原料的數量，即可得出關于x、z的二元一次方程，解之即可得出結論；

（2）設購進奧運會標志m件，則購進奧運會吉祥物（250﹣m）件，根據總利潤＝單價利潤×購進數量，即可得出y關于m的函數關系式，再由奧運會標志的件數不大于奧運會吉祥物的件數且不小于80件，即可得出m的取值范圍；

（3）設該客商售完所有商品并捐獻資金后獲得的收益為w元，根據收益＝利潤﹣捐獻總資金，即可得出w關于m的函數關系式，再利用一次函數的性質即可解決最值問題．

（1）設該廠能生產奧運會標志x套，能生產奧運會吉祥物z套，

根據題意得：，

解得：．

答：該廠能生產奧運會標志2000套，能生產奧運會吉祥物2400套．

（2）設購進奧運會標志m件，則購進奧運會吉祥物（250﹣m）件，

根據題意得：y＝（24﹣16）m+（22﹣15）（250﹣m）＝m+1750．

∵奧運會標志的件數不大于奧運會吉祥物的件數，且不小于80件，

∴，

∴80≤m≤125．

（3）設該客商售完所有商品并捐獻資金后獲得的收益為w元，

根據題意得：w＝y﹣am＝（1﹣a）m+1750（80≤m≤125），

∴①當a＜1時，1﹣a＞0，

∴w隨m值的增大而增大，

∴當m＝125時，w取最大值，最大收益為[125（1﹣a）+1750]元；

②當a＝1時，1﹣a＝0，

∴w＝1750，即在80≤m≤125中，該客商均為1750元；

③當a＞1時，1﹣a＜0，

∴w隨x值的增大而減小，

∴當m＝80時，w取最大值，最大收益為[80（1﹣a）+1750]元．