Question

【題目】已知，拋物線y=ax2+3ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側．點B的坐標為（1，0），OC=3OB．

(1)直接寫出C點的坐標；

(2)求拋物線的解析式；

(3)若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1) （0，﹣3）；(2) y=x2+x﹣3；(3) 四邊形ABCD面積的最大值為13.5．

【解析】

（1）由點B的坐標為（1，0），OC=3OB，且點C在y軸的負半軸上可求出點C的坐標；

(2)已知了B點坐標,易求得OB、OC的長,進而可將B、C的坐標代入拋物線中,求出待定系數的值,即可得出拋物線的解析式.
(3)根據A、C的坐標,易求得直線AC的解析式.由于AB、OC都是定值,則△ABC的面積不變,若四邊形ABCD面積最大,則△ADC的面積最大;可過D作x軸的垂線,交AC于M,x軸于N;易得△ADC的面積是DM與OA積的一半,可設出N點的坐標,分別代入直線AC和拋物線的解析式中,即可求出DM的長,進而可得出四邊形ABCD的面積與N點橫坐標間的函數關系式,根據所得函數的性質即可求出四邊形ABCD的最大面積.

(1)∵點B的坐標為（1，0），OC=3OB，

∴OB=1，OC=3，

∴點C的坐標為（0，﹣3）．

(2)將B（1，0）、C（0，﹣3）代入y=ax2+3ax+c，得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為y=x2+x﹣3．

(3)過點D作直線DE∥y軸，交AC于點E，交x軸于點F，過點C作CG⊥DE于點G，如圖所示．

當y=0時，有x2+x﹣3=0，

解得：x1=﹣4，x2=1，

∴點A的坐標為（﹣4，0），

∴AB=5．

設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），

將A（﹣4，0）、C（0，﹣3）代入y=kx+b，得：

，解得：，

∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣3．

設點D的坐標為（t，x2+x﹣3），則點E的坐標為（t，﹣ t﹣3），

∴ED=﹣t﹣3﹣（x2+x﹣3）=﹣t2﹣3t，

∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△AED+S△CED，

=ABOC+EDAF+EDCG，

=ABOC+EDAO，

=×5×3+×4（﹣t2﹣3t），

=﹣t2﹣6t+=﹣（t+2）2+．

∵﹣＜0，

∴當t=﹣2時，四邊形ABCD的面積取最大值，最大值為．

答：四邊形ABCD面積的最大值為．