Question

閱讀材料：

例：說明代數式 x2+1 + (x-3)2+4 的幾何意義，并求它的最小值．

解： x2+1 + (x-3)2+4 = (x-0)2+12 + (x-3)2+22 ，如圖，建立平面直角坐標系，點P（x，0）是x軸上一點，則 (x-0)2+12 可以看成點P與點A（0，1）的距離， (x-3)2+22 可以看成點P與點B（3，2）的距離，所以原代數式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．

設點A關于x軸的對稱點為A′，則PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，所以PA′+PB的最小值為線段A′B的長度．為此，構造直角三角形A′CB，因為A′C=3，CB=3，所以A′B=3 2 ，即原式的最小值為3 2 ．

根據以上閱讀材料，解答下列問題：

（1）代數式 (x-1)2+1 + (x-2)2+9 的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（1，1）、點B （2，3）的距離之和．（填寫點B的坐標）

（2）代數式 x2+49 + x2-12x+37 的最小值為．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2，3）（2）10

【解析】解：（1）∵原式化為的形式，

∴代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（1，1）、點B（2，3）的距離之和，

故答案為（2，3）；

（2）∵原式化為的形式，

∴所求代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，7）、點B（6，1）的距離之和，

如圖所示：設點A關于x軸的對稱點為A′，則PA=PA′，

∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，

∴PA′+PB的最小值為線段A′B的長度，

∵A（0，7），B（6，1）

∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，

∴A′B，

1）先把原式化為的形式，再根據題中所給的例子即可得出結論；

（2）先把原式化為的形式，故得出所求代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，7）、點B（6，1）的距離之和，再根據在坐標系內描出各點，利用勾股定理得出結論即可．