Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點A(0，2)，B(p,q)在直線上，拋物線m經過點B、C(p+4,q)，且它的頂點N在直線l上.

(1)若B(－2，1)，

①請在平面直角坐標系中畫出直線l與拋物線m的示意圖；

②設拋物線m上的點Q的模坐標為e(－2≤e≤0)過點Q作x軸的垂線，與直線l交于點H.若QH=d，當d隨e的增大面增大時，求e的取值范圍；

(2)拋物線m與y軸交于點F，當拋物線m與x軸有唯一交點時，判斷△NOF的形狀并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)①畫圖見解析；②當d隨e的増大而増大時，e的取直范圍是-2<e<-1；(2) 為等腰直角三角形.

【解析】

（1）①根據題意畫出圖形即可，②由①可求得，直線，拋物線

設過點Q且與軸垂直的直線與交于點H, 設點的坐標為,點H的坐標為, 當吋，點總在點的正上方，可得, 再根據的増大而増大確定e的取值范圍.

(2)根據B(p,q)、C(p+4,q)在拋物線上，得出拋物線的對稱軸內x=p+2，再根據拋物線軸只有一個交點，可設頂點N（p+2,0）設出拋物線的解析式，根據題意

得出，從而得出F點的坐標，得出三角形NOF的形狀.

（1）①如圖即為所求

②解：由①可求得，直線，拋物線

因為點在拋物線上，過點且與軸垂直的直線與交于點,

所以可設點的坐標為,點的坐標為,其中.

當吋，點總在點的正上方，可得

因為

所以當的増大而増大時，的取值范圍是

(2) 因為B(p,q)、C(p+4,q)在拋物線上，

所以拋物線的對稱軸內.

又因為拋物線軸只有一個交點，可設頂點.

設拋物線的解析式為.

當時，.

可得

把代入,，可得.

化簡可得 ①

設直線的解析式為，

分別把代入，可得②，

及 ③.

由①，②，③可得

所以.

又因為，

所以,且

所以為等腰直角三角形.