Question

【題目】已知，如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D為AB邊上一點．
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）求證：2CD2=AD2+DB2 ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，

∴AC=BC，CD=CE，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，

∴∠ACE=∠BCD，

在△ACE和△BCD中，

，

∴△AEC≌△BDC（SAS）

（2）

證明：∵△ACB是等腰直角三角形，

∴∠B=∠BAC=45度．

∵△ACE≌△BCD，

∴∠B=∠CAE=45°

∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，

∴AD2+AE2=DE2．

由（1）知AE=DB，

∴AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2

【解析】（1）本題要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，則DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因為兩角有一個公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根據SAS得出△ACE≌△BCD；
　　　　（2）由（1）的論證結果得出∠DAE=90°，AE=DB，從而求出AD2+DB2=DE2 ， 即2CD2=AD2+DB2 ． 本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，以及等角的余角相等的性質，熟記各性質是解題的關鍵．