Question

【題目】△ 中， ．取 邊的中點 ，作 ⊥ 于點 ，取 的中點 ，連接 ， 交于點 ．
（1）如圖1，如果 ，求證： ⊥ 并求 的值；

（2）如圖2，如果 ，求證： ⊥ 并用含 的式子表示 .

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，連接AD，

∵AB=AC，點D是BC的中點，

∴∠ABC=∠C，∠BAD=∠DAC= ∠BAC，AD⊥BC，

∵AD⊥BC，DE⊥AC，

∴∠ADE+∠CDE=90°，∠C+∠CDE=90°，

∴∠ADE=∠C．

又∵∠ADB=∠DEC=90°，

∴△ADB∽△DEC，∴ ，即ADCE=BDDE．

∵點D是BC的中點，點F是DE的中點，

∴BD= BC，DE=2DF，

∴ADCE═ BC2DF=BCDF，

∴ ，

又∵∠ADE=∠C，

∴△AFD∽△BEC，

∴ ，在Rt△ADB中，

∵∠ABD=90°-∠BAD=90°- ∠BAC，BD= BC，

∴tan∠ABD=tan（90°- ∠BAC）= ，

∴ = tan（90°- ∠BAC）．

∵△AFD∽△BEC，

∴∠DAF=∠CBE．

∵∠CBE+∠BOD=90°，∠AOH=∠BOD，

∴∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°，

∴∠AHO=180°-90°=90°，即∠AHB=90°

根據以上結論可得：∠AHB=90°， = tan（90°- ×90°）= ；∴AF⊥BE， =

（2）解：如圖2，

根據以上結論可得：∠AHB=90°， = tan（90°- α）；∴AF⊥BE， = tan（90°- α）

【解析】（1）由AB=AC，點D是BC的中點，根據三線合一，得到AD⊥BC，由DE⊥AC，根據同角的余角相等，得到∠ADE=∠C；得到△ADB∽△DEC，得到比例，即ADCE=BDDE；由已知得到ADCE=BCDF，又∠ADE=∠C，得到△AFD∽△BEC，得到比例，在Rt△ADB中，根據三角函數定義，得到∠DAF=∠CBE，由三角形內角和定理求出∠AHO=90°，即∠AHB=90°，根據以上結論可得
【考點精析】掌握相似三角形的判定與性質和銳角三角函數的定義是解答本題的根本，需要知道相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數．