Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC邊上不同于B、C的一動點，過P作PQ⊥AB，垂足為Q，連接AP．

（1）試說明不論點P在BC邊上何處時，都有△PBQ與△ABC相似；

（2）若Rt△AQP≌Rt△ACP≌Rt△BQP，求tanB的值；

（3）已知AC=3，BC=4，當BP為何值時，△AQP面積最大，并求出最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）; （3）當BP=時，△APQ的面積最大，最大值是；

【解析】試題分析：（1）直接證明∠C=∠PQB=90°，而∠B=∠B，即可根據兩角對應相等的兩三角形相似；

（2）分別根據全等三角形的性質，求出AQ=QB=AC，然后根據銳角三角形函數的性質求出tanB的值;

（3）利用勾股定理求出AB的值，然后根據相似三角形的性質列出比例式求出PQ、BQ，再根據三角形的面積公式求出△AQP面積，根據二次函數的性質和配方法解答即可．

試題解析：（1）不論點P在BC邊上何處時，都有

∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B

∴△PBQ∽△ABC；

（2）∵Rt△AQP≌Rt△ACP∴AQ=AC

又Rt△AQP≌Rt△BQP ∴AQ=QB

∴AQ=QB=AC

∴∠B=

∴

（3）設BP=x（0＜x＜4），由勾股定理，得 AB=5

∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，

∴，即 ∴

S△APQ===

∴當時，△APQ的面積最大，最大值是；