Question

如圖1，A為⊙O的弦EF上的一點，OB是和這條弦垂直的半徑，垂足為H，BA的延長線交⊙O于點C，過點C作⊙O的切線與EF的延長線相交于點D．
（1）求證：DA=DC；
（2）當DF：EF=1：8，且DF=

2

時，求AB•AC的值；
（3）將圖1中的EF所在直線往上平行移動到⊙O外，如圖2的位置，使EF與OB，延長線垂直，垂足為H，A為EF上異于H的一點，且AH小于⊙O的半徑，AB的延長線交⊙O于C，過C作⊙O的切線交EF于D．試猜想DA=DC是否仍然成立？并證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：連接OC，則OC⊥DC，（1分）
∴∠DCA=90°-∠ACO=90°-∠B．
∵∠DAC=∠BAE=90°-∠B，
∴∠DAC=∠DCA．
∴DA=DC．

（2）∵DF：EF=1：8，
∵DF=

2

，
∴EF=8DF=8

2

．
∵DC為⊙O的切線，
∴DC²=DF•DE=

2

×9

2

=18．
∵DC=3

2

，
∴AF=2

2

，AE=6

2

．
∴AB•AC=AE•AF=24．

（3）結論DA=DC仍然成立．
理由如下：延長BO交⊙O于K，連接CK，則∠KCB=90°；
∵DC為⊙O的切線，
∴∠DCA=∠CKB=90°-∠CBK．
∵∠CBK=∠HBA，
∴∠BAH=90°-∠HBA=90°-∠CBK．
∴∠DCA=∠BAH．
∴DA=DC．