Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，四邊形OBHC為矩形，CH的延長線交拋物線于點D（5，2），連接BC、AD．
（1）求C點的坐標及拋物線的解析式；
（2）將△BCH繞點B按順時針旋轉90°后再沿x軸對折得到△BEF（點C與點E對應），判斷點E是否落在拋物線上，并說明理由；
（3）設過點E的直線交AB邊于點P，交CD邊于點Q．問是否存在點P，使直線PQ分梯形ABCD的面積為1：3兩部分？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵四邊形OBHC為矩形，
∴CD∥AB，
又D（5，2），
∴C（0，2），OC=2．
∴

n=2 1 2 •52+5•m+n=2

，
解得

m=- 5 2 n=2

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-

5

2

x+2；

（2）點E落在拋物線上．理由如下：
由y=0，得

1

2

x²-

5

2

x+2=0．
解得x₁=1，x₂=4．
∴A（4，0），B（1，0）．
∴OA=4，OB=1．
由矩形性質知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，
由旋轉、軸對稱性質知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，
∴點E的坐標為（3，-1）．
把x=3代入y=

1

2

x²-

5

2

x+2，得y=

1

2

•3²-

5

2

•3+2=-1，
∴點E在拋物線上；

（3）存在點P（a，0）．記S_梯形BCQP=S₁，S_梯形ADQP=S₂，易求S_梯形ABCD=8．
當PQ經過點F（3，0）時，易求S₁=5，S₂=3，
此時S₁：S₂不符合條件，故a≠3．
設直線PQ的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

3k+b=-1 ak+b=0

，
解得

k= 1 a-3 b=- a a-3

，
∴y=

1

a-3

x-

a

a-3

．
由y=2得x=3a-6，
∴Q（3a-6，2）
∴CQ=3a-6，BP=a-1，s₁=

1

2

（3a-6+a-1）•2=4a-7．
下面分兩種情形：
①當S₁：S₂=1：3時，S₁=

1

4

S_梯形ABCD=

1

4

×8=2；
∴4a-7=2，解得a=

9

4

；
②當S₁：S₂=3：1時，S₁=

3

4

S_梯形ABCD=

3

4

×8=6；
∴4a-7=6，解得a=

13

4

；
綜上所述：所求點P的坐標為（

9

4

，0）或（

13

4

，0）