Question

通過類比聯想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的。下面是一個案例，請補充完整。

原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由。
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合。
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，點F、D、G共線。
根據　　　　，易證△AFG≌　　　　，得EF=BE+DF。
（2）類比引申
如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足等量關系　　　　時，仍有EF=BE+DF。
（3）聯想拓展
如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC應滿足的等量關系，并寫出推理過程。

Answer 1

解：（1）SAS；△AFE。
（2）∠B+∠D=180°。
（3）BD²+EC²=DE²。理由見解析

試題分析：（1）在△AFG和△AEF中，，∴△AFG≌△AEF（SAS）。
（2）如圖，把△ABE繞A點逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，連接FG，

同（1）△AEF≌△AGF（SAS）得EF=GF；
由旋轉的性質，得BE=DG，∠B=∠ADG，
若EF=BE+DF，則GF=DG+DF。
∴點F、D、G共線。∴∠ADF＋∠ADG180°，即∠B+∠D=180°。
（3）根把△ABD繞A點逆時針旋轉90°至△ACG，可使AB與AC重合，根據旋轉的性質，全等三角形的性質和勾股定理，可得到BD²+EC²=DE²。
BD²+EC²=DE²。推理過程如下：
∵AB=AC，
∴把△ABD繞A點逆時針旋轉90°至△ACG，可使AB與AC重合（如圖）。

∵△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，即∠ECG=90°。
∴EC²+CG²=EG²。
在△AEG與△AED中，
∵根據旋轉的性質，∠CAG=∠BAD。
∴∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°－∠EAD=45°=∠EAD。
又∵根據旋轉的性質，AD=AG，AE=AE，
∴△AEG≌△AED（SAS）。∴DE=EG。
又∵CG=BD，∴BD²+EC²=DE²。