Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，點A（0，10），點B（m，0），且m＞0，把△AOB繞點A逆時針旋轉90°，得到△ACD，點O，B旋轉后的對應點分別為點C，D．

（1）點C的坐標為　 　；

（2）①設△BCD的面積為S，用含m的代數式表示S，并直接寫出m的取值范圍；

②當S＝12時，請直接寫出點B的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（10，10）；（2）①S＝m2﹣5m（m＞10）或S＝﹣m2+5m（0＜m＜10）；②點B的坐標為（12，0）或（4，0）或（6，0）．

【解析】

(1)根據旋轉的性質得到AC=AO=10，∠OAC=90°，得到點C的坐標；

(2)①分點E在線段OB上、點E在線段OB的延長線上兩種情況，根據三角形的面積公式計算；

②把S=12分別代入函數關系式，計算即可．

(1)∵點A(0，10)，

∴AO=10，

∵△AOB繞點A逆時針旋轉90°得△ACD，

∴AC=AO=10，∠OAC=90°，

∴C(10，10)，

故答案為：(10，10)；

(2)①延長DC交x軸于點E，

∵點B(m，0)，

∴OB=m，

∵△AOB繞點A逆時針旋轉90°得△ACD，

∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，

∴∠ACE=90°，

∴四邊形OACE是正方形，

∴DE⊥x軸，OE=AC=10，

如圖1，當點E在線段OB上時，

BE=OB﹣OE=m﹣10，

∴S=DCBE=m(m﹣10)，

即S=m2﹣5m(m＞10)，

如圖2，當點E在線段OB的延長線上(點B不與O，E重合)時，

則BE=OE﹣OB=10﹣m，

∴S=DCBE=m(10﹣m)，

即S=﹣m2+5m(0＜m＜10)，

當點B與E重合時，即m=10，△BCD不存在，

綜上所述，S=m2﹣5m(m＞10)或S=﹣span>m2+5m(0＜m＜10)；

②當S=12，m＞10時，m2﹣5m=12，

解得：m1=﹣2(舍去)，m2=12，

當S=12，0＜m＜10時，﹣m2+5m=12，

解得：m3=4，m4=6，

∴點B的坐標為(12，0)或(4，0)或(6，0)．