Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑的⊙分別交、于點、，點在的延長線上，且．

（）求證：直線是⊙的切線．

（）若，，求點到的距離．

（）在第（）的條件下，求的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點到的距離為；（3）的周長為．

【解析】試題分析：（1）根據∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，從而得到∠BCP+∠BCA=90°，證得直線CP是 O的切線．（2）作BD⊥AC于點D，得到BD∥PC，從而利用sin∠BCP=sin∠DBC=，求得DC=2，再根據勾股定理求得點B到AC的距離為4．（3）先求出AC的長度，然后利用BD∥PC的比例線段關系求得CP的長度，再由勾股定理求出AP的長度，從而求得△ACP的周長．

試題解析：（）∵且，

在中，，

∴，

∴，

又∵點在直徑上，

∴直線是的切線．

（）如圖，作于，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴由勾股定理得，

∴點到的距離為．

（）連接，∵為直徑，

∴，

∴中，

，

又∵，

∴，

∵，

∴，∴

在中，，

，

∴的周長為．