Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）與x軸的兩個交點為A、B，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，直線y=﹣2x+m+6經過點B，交y軸于點E（0，6）．

（1）求直線和拋物線的解析式；

（2）如果拋物線的對稱軸與線段BC交于點H，且直線y=x與直線y=﹣2x+m+6交于點G，求證：四邊形OHBG是平行四邊形；

（3）在拋物線上是否存在點P，使△APB的面積等于平行四邊形OHBG的面積，若存在，直接寫出P點的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）證明見解析（3）存在滿足條件的點p，點p的坐標是（0，-3）或（2，-3）或（1+，3）

【解析】試題分析：（1）根據待定系數法，可求得答案；

（2）根據直線的一次項的系數相等，可得平行線，根據平行四邊形的定義可得結果；

（3）根據面積相等，可得關于x的方程，根據解方程，可得點的坐標.

試題解析：（1）將點E（0,6）代入直線y=-2x+m+6得

M+6=6，則m=0，∴直線的解析式為y=-2x+6，

拋物線的解析式為y=x2-2x-3；

（2）∵y=x2-2x-3=（x+1）（x-3）=（x-1）2-4

∴B（3,0），C（0，-3），D（1，-4），對稱軸為x=1

設直線BC的解析式為y=kx-3

則3k-3=0，即k=1，∴直線BC的解析式為y=x-3

則BC∥OG，點H的坐標為（1，-2）

設直線OH的解析式為y=ax，則a=-2，∴直線OH的解析式為y=-2x，

∴OH∥BG，∴四邊形OHBG是平行四邊形；

（3）存在滿足條件的點p，點p的坐標是（0，-3）或（2，-3）或（1+，3）

∵OB=3，△OBH的OB邊上的高為2，

∴平行四邊形的面積=2xx3x2=6

設點P的坐標為（x，x2-2x-3）

∵AB=4，∴×4|x2-2x-3|=6，解得x=1±或x=0或x=2

∴P的坐標為（0，-3）或（2，-3）或（1-，3）或（1+，3）