Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC=60°，則當△PAB為直角三角形時，AP的長為 ．

Answer 1

【答案】2 或2 或2
【解析】解：當∠APB=90°時（如圖1），

∵AO=BO，

∴PO=BO，

∵∠AOC=60°，

∴∠BOP=60°，

∴△BOP為等邊三角形，

∵AB=BC=4，

∴AP=ABsin60°=4× =2 ；

當∠ABP=90°時（如圖2），

∵∠AOC=∠BOP=60°，

∴∠BPO=30°，

∴BP= = =2 ，

在直角三角形ABP中，

AP= =2 ，

情況二：如圖3，∵AO=BO，∠APB=90°，

∴PO=AO，

∵∠AOC=60°，

∴△AOP為等邊三角形，

∴AP=AO=2，

故答案為：2 或2 或2．

利用分類討論，當∠ABP=90°時，如圖2，由對頂角的性質可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的長，利用勾股定理可得AP的長；當∠APB=90°時，分兩種情況討論，情況一：如圖1，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出PO=BO，易得△BOP為等邊三角形，利用銳角三角函數可得AP的長；易得BP，利用勾股定理可得AP的長；情況二：如圖3，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得結論．