Question

【題目】如圖，點A（﹣2，0）、B（4，0）、C（3，3）在拋物線y=ax2+bx+c上，點D在y軸上，且DC⊥BC，∠BCD繞點C順時針旋轉后兩邊與x軸、y軸分別相交于點E、F．

（1）求拋物線的解析式；
（2）CF能否經過拋物線的頂點？若能，求出此時點E的坐標；若不能，說明理由；
（3）若△FDC是等腰三角形，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由拋物線與X軸的兩個交點A、B的坐標，

可以由兩根式設拋物線解析式為：y=a（x+2）（x﹣4），

然后將C點坐標代入得：a（3+2）（3﹣4）=3，

解得：a=﹣ ，

故拋物線解析式是：y=﹣ （x+2）（x﹣4）

（2）

解：由C、B兩點坐標利用待定系數法可以求得CB直線方程為：y=﹣3x+12，

∵CD⊥CB，

∴CD直線方程可以設為：

y= x+m，

將C點坐標代入得：m=2，

∴CD直線方程為：y= x+2，

∴D點坐標為：D（0，2），

由拋物線解析式可以頂點公式或對稱軸x=1解得頂點M坐標為M（1， ），

∴由C、M兩點坐標可以求得CM即CF直線方程為：y=﹣ x+ ，

∴F點坐標為：F（0， ），

∴CE直線方程可以設為：y= x+n，

將C點坐標代入得：n= ，

∴CE直線方程為：y= x+ ，

令y=0，解得：x=﹣ ，

∴E點坐標為E（﹣ ，0），

∴能；

（3）

解：由C、D兩點坐標可以求得CD= ，

則△FDC是等腰△可以有三種情形：

① FD=CD= ，

則F點坐標為F（0，2+ ），

②FC=CD= ，過C點作y軸垂線，垂足為H點，

則DH=1，

則FH=1，

則F點坐標為F（0，4），

③FD=FC，作DC的中垂線FG，交y軸于F點，交DC于G點，

由中點公式得G點坐標為G（ ， ），

由DC兩點可以求得DC直線方程為：y= x+2，

則FG直線方程可以設為：y=﹣3x+p，

將G點坐標代入解得：p=7，

故F點坐標為（0，7）．

【解析】（1）由拋物線與X軸的兩個交點A、B的坐標，可以由兩根式設拋物線解析式為：y=a（x+2）（x﹣4），求出a的值即可；（2）由C、B兩點坐標利用待定系數法可以求得CB直線方程為：y=﹣3x+12，設CD直線方程可以設為：y= x+m，求出m的值，進而求出D點的值，由拋物線解析式可以頂點公式或對稱軸x=1解得頂點M坐標，由C、M兩點坐標可以求得CM即CF直線方程，CE直線方程可以設為：y= x+n，求出n的值，進而求出E點的坐標；（3）由C、D兩點坐標可以求得CD= ，△FDC是等腰△可以有三種情形：①當FD=CD；②FC=CD；③FD=FC，分別求出F點的坐標即可；