Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點．
（1）求出A，B兩點的坐標；
（2）若有一條開口向下的拋物線經過點A，B，且其頂點P在⊙C上，請求出此拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）過C作AB的垂線，設垂足為H，在Rt△CAH中，已知圓的半徑和CH的長（由C點坐標獲得），利用勾股定理即可求得AH的長，進而可得到點A的坐標，B點坐標的求法相同．
（2）根據拋物線和圓的對稱性知：C、P都在弦AB的垂直平分線上，已知了C點坐標和圓的半徑，即可得到點P的坐標，而P為拋物線頂點，可將所求拋物線設為頂點坐標式，然后將A點坐標代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值，從而求出該拋物線的解析式．

解答：解：（1）過點C作CH⊥x軸，H為垂足；
又∵C（1，1），
∴CH=OH=1；（1分）
∴在Rt△CHB中，HB=

CB2-CH2

=

3

；（3分）
∵CH⊥AB，CA=CB，
∴AH=BH；
故A（1-

3

，0），B（1+

3

，0）．（5分）

（2）由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點P的坐標為（1，3）；（6分）
∴設拋物線解析式為y=a（x-1）²+3，
由已知得拋物線經過點B（1+

3

，0），（7分）
把點B（1+

3

，0）代入上式，
解得a=-1，（8分）
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+2．（9分）
（利用拋物線經過P（1，3），A（1-

3

，0），B（1+

3

，0）

點評：此題考查了垂徑定理、勾股定理、拋物線和圓的對稱性、二次函數解析式的確定等知識，雖然涉及知識點較多，但難度不大．