Question

【題目】在△ABC與△CDE中，∠ACB∠CDE90°，ACBC，CDED，連接AE，BE，F為AE的中點，連接DF，△CDE繞著點C旋轉．

(1)如圖1，當點D落在AC上時，DF與BE的數量關系是： ；

(2)如圖2，當△CDE旋轉到該位置時，DF與BE是否仍具有(1)中的數量關系，如果具有，請給予證明；如果沒有，請說明理由；

(3)如圖3，當點E落在線段CB延長線上時，若CDAC2，求DF的長．

Answer 1

【答案】(1)DF=BE；(2)見解析；(3)；

【解析】

（1）證明△ACE≌△BCE，則AE=BE，DF是直角△ADE的中線，DF=AE，即可證明DF=BE；

（2）連接AM，證明△ACM≌△BCE，則AM=BE，DF為△AME的中位線，DF==BE；

（3）易知CD=DE=2，由勾股定理CE=，BE=CE—CB=，DF=BE，可求得DF=．

(1) ∵∠ACB=∠CDE=90°，AC=BC，CD =ED，

∴∠ACE=∠BCE=45°，

∴△ACE≌△BCE，

∴AE=BE，因為DF是直角△ADE的中線，

∴DF=AE

∴DF=BE

(2)如圖，將△CDE沿著CD翻折，得到△DCM≌△DCE，連接AM，

由△CDE為等腰直角三角形易知△CME為等腰直角三角形，

在△ACM和△BCE中，

AC=BC，∠ACM=∠BCE ，CM=CE，

∴△ACM≌△BCE，

∴AM=BE

∵F為AE的中點，D為ME的中點

∴DF為△AME的中位線，

∴DF=，

∴DF=BE．

(3)將△EDC沿DC翻折得到△DCM

CD=DE=2，由勾股定理可知CE=

BE=CE—CB=

由前面的結論可知：DF=BE

∴DF=．