Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣2mx（m＞0）與x軸的另一個交點為A，過P（1，﹣m）作PM⊥x軸于點M，交拋物線于點B．點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C．

（1）若m=2，求點A和點C的坐標；

（2）令m＞1，連接CA，若△ACP為直角三角形，求m的值；

（3）在坐標軸上是否存在點E，使得△PEC是以P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（4，0），C（3，﹣3）;(2) m=;(3) E點的坐標為（2，0）或（，0）或（0，﹣4）；

【解析】

方法一：(1)m=2時,函數(shù)解析式為y=,分別令y=0,x=1,即可求得點A和點B的坐標, 進而可得到點C的坐標；

(2) 先用m表示出P, A C三點的坐標,分別討論∠APC=,∠ACP=,∠PAC=三種情況, 利用勾股定理即可求得m的值；

(3) 設點F（x，y）是直線PE上任意一點，過點F作FN⊥PM于N，可得Rt△FNP∽Rt△PBC，

NP：NF=BC：BP求得直線PE的解析式，后利用△PEC是以P為直角頂點的等腰直角三角形求得E點坐標.

方法二：（1）同方法一.

(2) 由△ACP為直角三角形, 由相互垂直的兩直線斜率相乘為-1，可得m的值；

（3）利用△PEC是以P為直角頂點的等腰直角三角形，分別討論E點再x軸上，y軸上的情況求得E點坐標。

方法一：

解：

（1）若m=2，拋物線y=x2﹣2mx=x2﹣4x，

∴對稱軸x=2，

令y=0，則x2﹣4x=0，

解得x=0，x=4，

∴A（4，0），

∵P（1，﹣2），令x=1，則y=﹣3，

∴B（1，﹣3），

∴C（3，﹣3）．

（2）∵拋物線y=x2﹣2mx（m＞1），

∴A（2m，0）對稱軸x=m，

∵P（1，﹣m）

把x=1代入拋物線y=x2﹣2mx，則y=1﹣2m，

∴B（1，1﹣2m），

∴C（2m﹣1，1﹣2m），

∵PA2=（﹣m）2+（2m﹣1）2=5m2﹣4m+1，

PC2=（2m﹣2）2+（1﹣m）2=5m2﹣10m+5，

AC2=1+（1﹣2m）2=2﹣4m+4m2，

∵△ACP為直角三角形，

∴當∠ACP=90°時，PA2=PC2+AC2，

即5m2﹣4m+1=5m2﹣10m+5+2﹣4m+4m2，整理得：4m2﹣10m+6=0，

解得：m=，m=1（舍去），

當∠APC=90°時，PA2+PC2=AC2，

即5m2﹣4m+1+5m2﹣10m+5=2﹣4m+4m2，整理得：6m2﹣10m+4=0，

解得：m=，m=1，和1都不符合m＞1，

故m=．

（3）設點F（x，y）是直線PE上任意一點，過點F作FN⊥PM于N，

∵∠FPN=∠PCB，∠PNF=∠CBP=90°，

∴Rt△FNP∽Rt△PBC，

∴NP：NF=BC：BP，即=，

∴y=2x﹣2﹣m，

∴直線PE的解析式為y=2x﹣2﹣m．

令y=0，則x=1+，

∴E（1+m，0），

∴PE2=（﹣m）2+（m）2=，

∴=5m2﹣10m+5，解得：m=2，m=，

∴E（2，0）或E（，0），

∴在x軸上存在E點，使得△PEC是以P為直角頂點的等腰直角三角形，此時E（2，0）或E（，0）；

令x=0，則y=﹣2﹣m，

∴E（0，﹣2﹣m）

∴PE2=（﹣2）2+12=5

∴5m2﹣10m+5=5，解得m=2，m=0（舍去），

∴E（0，﹣4）

∴y軸上存在點E，使得△PEC是以P為直角頂點的等腰直角三角形，此時E（0，﹣4），

∴在坐標軸上是存在點E，使得△PEC是以P為直角頂點的等腰直角三角形，E點的坐標為（2，0）或（，0）或（0，﹣4）；

方法二：

（1）略．

（2）∵P（1，﹣m），

∴B（1，1﹣2m），

∵對稱軸x=m，

∴C（2m﹣1，1﹣2m），A（2m，0），

∵△ACP為直角三角形，

∴AC⊥AP，AC⊥CP，AP⊥CP，

①AC⊥AP，∴KAC×KAP=﹣1，且m＞1，

∴，m=﹣1（舍）

②AC⊥CP，∴KAC×KCP=﹣1，且m＞1，

∴=﹣1，∴m=，

③AP⊥CP，∴KAP×KCP=﹣1，且m＞1，

∴=﹣1，∴m=（舍）

（3）∵P（1，﹣m），C（2m﹣1，1﹣2m），

∴KCP=，

△PEC是以P為直角頂點的等腰直角三角形，

∴PE⊥PC，∴KPE×KCP=﹣1，∴KPE=2，

∵P（1，﹣m），

∴lPE：y=2x﹣2﹣m，

∵點E在坐標軸上，

∴①當點E在x軸上時，

E（，0）且PE=PC，

∴（1﹣）2+（﹣m）2=（2m﹣1﹣1）2+（1﹣2m+m）2，

∴m2=5（m﹣1）2，

∴m1=2，m2=，

∴E1（2，0），E2（，0），

②當點E在y軸上時，E（0，﹣2﹣m）且PE=PC，

∴（1﹣0）2+（﹣m+2+m）2=（2m﹣1﹣1）2+（1﹣2m+m）2，

∴1=（m﹣1）2，

∴m1=2，m2=0（舍），

∴E（0，4），

綜上所述，（2，0）或（，0）或（0，﹣4）．