Question

【題目】問題提出

（1）如圖①，已知線段AB，請以AB為斜邊，在圖中畫出一個直角三角形；

（2）如圖②，已知點A是直線l外一點，點B、C均在直線l上，AD⊥l且AD=3，∠BAC=60°，求△ABC面積的最小值；

問題解決

（3）如圖③，某園林單位要設計把四邊形花園劃分為幾個區域種植不同花草，在四邊形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6m，點E、F分別為AB、AD上的點，若保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值?若存在，請求出面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，72m2

【解析】

（1）構造輔助圓，利用直徑所對圓周角為直角解決問題即可．
（2）作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，過點O作OE⊥BC于點E，根據垂線段最短得到AO+OE≥AD，從而算出BC的最大值，即可得到結果；
（3）分別延長AB、DC交于點M，根據等腰直角三角形的性質求出四邊形ABCD的面積，將△CBE繞點C順時針旋轉135°得到△CDE′，得到A、D、E′三點共線，從而得到當S△CE′F取得最小值時，S四邊形AECF取得最大值，以E′F為斜邊作等腰Rt△OE′F，設△CE′F的外接圓半徑為rm，求出r的取值范圍，得到當點O在CD上時，E′F最短，從而可以求出四邊形AECF面積的最大值.

解：（1）如圖，Rt△ACB即為所求．

（2）如圖，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，過點O作OE⊥BC于點E，

則∠BOC=2∠BAC，OA=OB=OC，BE=CE=BC，

∵∠BAC=60°，

∴∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，

設OA=OB=OC=r，

則OE=r，BC=2BE=r，

∵AO+OE≥AD，AD=3，

∴r+r≥3，

解得r≥2，

∴BC=r≥，

∴S△ABC=BC·AD≥××3=，

∴△ABC面積的最小值為．

（3）存在；如圖，分別延長AB、DC交于點M，

則△ADM、△CBM均為等腰直角三角形，

∵CB=CD=6m，

∴BM=6m，CM=m，AD=DM=（6+）m，

∴S四邊形ABCD

=S△ADM-S△CBM

=DM2-BC2

=×（6+）2-×62

=（36+）m2．

將△CBE繞點C順時針旋轉135°得到△CDE′，

則A、D、E′三點共線．

∴S四邊形AECF=S四邊形ABCD–（S△CBE+S△CDF）=S四邊形ABCD–S△CE′F

∵S四邊形ABCD為定值，

∴當S△CE′F取得最小值時，S四邊形AECF取得最大值．

∵∠E′CF=135°-90°=45°，

∴以E′F為斜邊作等腰Rt△OE′F，

則△CE′F的外接圓是以點O為圓心，OF長為半徑的圓，

設△CE′F的外接圓半徑為rm，

∴E′F=rm，

又∵OC+OD≥CD，

∴r+r≥6，

∴r≥12-，

當點O在CD上時，E′F最短，此時E′F=r=（-12）m，

∴S△CE′F最小=×（-12）×6=（-36）m2，

∴S四邊形AECF最大=S四邊形ABCD-S△CE’F最小=36+-（-36）=72m2．