Question

【題目】（1）在正方形ABCD中，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與C、D重合），以CG為邊在正方形ABCD外作一個(gè)正方形CEFG，連結(jié)BG、DE，如圖①．直接寫出線段BG、DE的關(guān)系 ；

（2）將圖①中的正方形CEFG繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖②，試判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，直接寫出結(jié)論，若不成立，說明理由；

（3）將（1）中的正方形都改為矩形，如圖③，再將矩形CEFG繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖④，若AB=a，BC=b；CE =ka，CG=kb，()試判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BG=DE， BG⊥DE；(2)BG=DE， BG⊥DE；(3)BG⊥DE成立，BG=DE不成立，理由見解析．

【解析】

（1）由正方形的性質(zhì)得出BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，由SAS證明△BCG≌△DCE，得出BG＝DE，∠CBG＝∠CDE，延長BG交DE于H，由角的互余關(guān)系和對(duì)頂角相等證出∠CDE＋∠DGH＝90°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠DHG＝90°即可；

（2）由正方形的性質(zhì)可得BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，然后求出∠BCG＝∠DCE，由SAS證明△BCG和△DCE全等，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BG＝DE，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CBG＝∠CDE，然后求出∠DOH＝90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可；

（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)證明△BCG∽△DCE，得到，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CBG=∠CDE，然后求出∠DOH＝90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可．

（1）解：BG＝DE，BG⊥DE；理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形CEFG是正方形，

∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，

在△BCG和△DCE中，

，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE，

延長BG交DE于H，如圖所示：

∵∠CBG＋∠BGC＝90°，∠DGH＝∠BGC，

∴∠CDE＋∠DGH＝90°，

∴∠DHG＝90°，

∴BG⊥DE；

（2）解：成立；理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形CEFG是正方形，

∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，

∴∠BCD＋∠DCG＝∠ECG＋∠DCG，

即∠BCG＝∠DCE，

在△BCG和△DCE中，

，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE，

∵∠CBG＋∠BHC＝90°，∠BHC＝∠DHO，

∴∠CDE＋∠DHO＝90°，

在△DHO中，∠DOH＝180°（∠CDE＋∠DHO）＝180°90°＝90°，

∴BG⊥DE．　

(3)BG⊥DE成立，BG=DE不成立．　

結(jié)合圖④說明如下：

∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是矩形，且AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka(a≠b，k＞0)，

，

∠BCD=∠ECG=90°．

∴∠BCG=∠DCE．

∴△BCG∽△DCE．　

∴，∠CBG=∠CDE．

又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，

∴∠CDE+∠DHO=90°．

∴∠DOH=90°．

∴BG⊥DE．