Question

【題目】已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一個銳角頂點與A重合，將此三角板繞A點旋轉時，兩邊分別交直線BC、CD于M、N.

（1）當M、N分別在邊BC、CD上時（如圖1），求證：BM+DN=MN；

（2）當M、N分別在邊BC、CD所在的直線上時（如圖2，圖3），線段BM、DN、MN之間又有怎樣的數量關系，請直接寫出結論；

（3）在圖3中，作直線BD交直線AM、AN于P、Q兩點，若MN=10，CM=8，求AP的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）圖2的結論：MN+DN=BM；圖3的結論：MN+BM=DN.理由見解析；（3）.

【解析】

（1）作AE⊥AN交CB的延長線于E，證明△ABE≌△ADN，由此得到AE=AN，BE=DN.而根據∠MAN=45°，∠BAD=90°，可以得到∠EAM=∠NAM=45°，從而證明△AMN≌△AME，然后根據全等三角形的性質可以證明BM+DN=MN；

（2）如圖2，在BC上截取BG=DN，連接AG，然后也可以證明△AMN≌△AMG，也根據全等三角形的性質就可以得到結論；

如圖，MN+BM=DN．在ND上截取DG=BM，連接AG，首先證明△AMB≌△AGD，再證△AMG為等腰直角三角形，即可．

（3）連接AC，在直角三角形MNC中，由MN和CM的長，利用勾股定理求出CN的長，根據圖3的結論等量代換即可求出BC的長，從而利用勾股定理求出AC的長，根據同角的余角相等得到一對銳角相等，再根據45度的鄰補角相等得到一對鈍角相等，利用兩對角相等的兩三角形相似，可得三角形ABP與三角形ACN相似，且相似比為在直角三角形AND中，利用勾股定理求出AN的長，代入比例式即可求出AP的長．

解：（1）證明：作AE⊥AN交CB的延長線于E，

∵∠EAB+∠BAN=90°，∠NAD+∠BAN=90°，

∴∠EAB=∠NAD.

又∵∠ABE=∠D=90°，AB=AD，

∴△ABE≌△ADN（ASA），

∴AE=AN，BE=DN.

∵∠NAM=45°，AM=AM，

∠EAM=

∴△AME≌△AMN.

∴MN=ME=MB+BE

∴MN =MB+DN.

（2）圖2的結論：MN+DN=BM；理由如下：

在BC上截取BG=DN，連接AG，

∵∠B=∠ADN=90°，AB=AD，

圖3的結論：MN+BM=DN.理由如下：

在ND上截取DG=BM，

∵AD=AB，∠ABM=∠ADN=90°，

∴△ADG≌△ABM，

∴AG=AM，∠MAB=∠DAG，

∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，

∴∠MAG=90°，△AMG為等腰直角三角形，

∴AN垂直MG，

∴AN為MG垂直平分線，

所以NM=NG．

∴DN-BM=MN．

（3）連接AC.

∵MN=10，CM=8，

在Rt△MNC中，根勾股定理得：MN2=CM2+CN2，

即102=82+CN2，∴CN=6，

由圖3的結論：MN+BM=DN.

∴MN+CM－BC=DC+CN，

∴CM－CN+MN=2BC，

∴8－6+10=2BC，

∴BC=6.∴.

∵∠BAP+∠BAQ=45°，∠NAC+∠BAQ=45°，

∴∠BAP=∠NAC.

又∠ABP=∠ACN=135°，

∴△ABP∽△CAN，

∴.

∵在Rt△AND中，

根據勾股定理得：AN2=AD2+DN2=36+144，

解得.

∴，

∴.