Question

【題目】如圖，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=，以O為坐標原點，OC為軸，OA為軸建立平面直角坐標系。設D，E分別是線段AC，OC上的動點，它們同時出發，點D以每秒3個單位的速度從點A向點C運動，點E以每秒1個單位的速度從點C向點O運動，設運動時間為秒。

（1）求直線AC的解析式；

（2）用含的代數式表示點D的坐標；

（3）當為何值時，△ODE為直角三角形？

（4）在什么條件下，以Rt△ODE的三個頂點能確定一條對稱軸平行于軸的拋物線？并請選擇一種情況，求出所確定拋物線的解析式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（，）；（3），，，；（4）

【解析】

（1）在Rt△AOC中，已知AO的長以及∠ACB的正弦值，能求出OC的長，即可確定點C的坐標，利用待定系數法能求出直線AC的解析式．

（2）過D作AO、OC的垂線，通過構建相似三角形來求出點D的坐標．

（3）用t表示出OD、DE、OE的長，若△ODE為直角三角形，那么三邊符合勾股定理，據此列方程求出對應的t的值．

（4）根據（3）的結論能得到t的值，△ODE中，當OD⊥x軸或DE垂直x軸時，都不能確定“一條對稱軸平行于y軸的拋物線”，余下的情況都是符合要求的，首先得D、E的坐標，再利用待定系數法求出拋物線的解析式．

（1）根據題意，得CO=AB=BCtan∠ACB=4，則A（0，3）、B（4，3）、C（4，0）；

設直線AC的解析式為：y=kx+3，代入C點坐標，得：

4k+3=0，k=-，

∴直線AC：；

（2）分別作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分別為F，H，

則有△ADF∽△DCH∽△ACO，

∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，

而AD=（其中0≤≤），OC=AB=4，AC=5，∴FD=AD=，AF=AD=，

DH=，HC=，

∴D（，）；

（3）CE=，E（，0），OE=OC-CE=4-，HE=|CH-CE|=，

則OD2=DH2+OH2==，

DE2=DH2+HE2==，

當△ODE為Rt△時，有OD2+DE2=OE2，或OD2+OE2=DE2，或DE2+OE2=OD2，

即①，

或②，

或③，

上述三個方程在0≤≤內的所有實數解為

，，，；

（4）當DO⊥OE，及DE⊥OE時，即和時，以Rt△ODE的三個頂點不確定對稱軸平行于軸的拋物線，其它兩種情況都可以各確定一條對稱軸平行于軸的拋物線D（，），E（4-，0），

當時，D（，），E（3，0），因為拋物線過O（0，0），

所以設所求拋物線為，將點D，E坐標代入，求得，，

∴所求拋物線為.

（當時，所求拋物線為）.