Question

【題目】在菱形ABCD中，∠BAD=60°

（1）如圖1，點E為線段AB的中點，連接DE、CE，若AB=4，求線段EC的長；

（2）如圖2，M為線段AC上一點（不與A、C重合），以AM為邊向上構造等邊三角形AMN，連接NC、DM，Q為線段NC的中點，連接DQ、MQ，判斷DM與DQ的數量關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；

【解析】（1）連接DB，利用菱形的性質、等邊三角形的性質及勾股定理即可求解；

（2）延長MQ到H，使QH=MQ，連接DH、HC ，利用全等三角形的判定和性質、菱形的性質、勾股定理等即可求解.

（1）∵菱形ABCD，

∴AD=DC=AB，DC∥AB，

∴∠DEA=∠CDE，

連接DB，

∵∠BAD=60°，

∴△ADB是等邊三角形 ，

∵E為AB中點，

∴DE⊥AB，AE=，

∴∠DEA=90°，

∴∠CDE=90°，

在Rt△ADE中，AD=AB=4，AE==2，

∴DE= ，

在Rt△DCE中，DC=AB=4，

∴EC=；

（2）延長MQ到H，使QH=MQ，連接DH、HC ，

∵Q為NC中點，

∴NQ=CQ，

∵∠NQM=∠CQH，

∴△NQM≌△CQH（SAS），

∴NM=CH，∠MNQ=∠HCQ，

∴NM∥CH，

∴∠NMA=∠HCM，

∵有等邊△AMN，

∴NM=AM，∠NMA=60°，

∴AM=CH，∠HCM=60°，

∵有菱形ABCD，AC為對角線，∠BAD=60°，

∴∠DAM=，

同理，∠DCA=30°，

∴∠HCD=30°，

∴△DAM≌△DCH（SAS），

∴DM=DH，∠ADM=∠CDH，

∴DQ⊥MH，∠MDQ=∠HDQ，∠MDH=∠ADC，

∴∠DQM=90°，

∵有菱形ABCD，∠BAD=60°，

∴∠ADC=120°，

∴∠MDH=120°，

∴∠MDQ=60°，

∴∠DMQ=30°，

∴DM=2DQ.