Question

【題目】已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，P是平面上的一點，且DP=1，連接BP，CP

（1）如圖，當點P在線段BD上時，求CP的長；

（2）當△BPC是等腰三角形時，求CP的長；

（3）將點B繞點P順時針旋轉90°得到點B′，連接AB′，求AB′的最大值．

Answer 1

【答案】（1）PC=3；（2）或；（3）4+．

【解析】

如圖1中，連接CD．D是AB的中點,可求出CD，再根據勾股定理求出PC；

當△BPC是等腰三角形時，分三種情形討論；

推出點P落在CD的延長線與⊙D的交點處，PC的值最大，推出可得AB′的最大值為.

（1）如圖1中，連接CD．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，

∴AB=，

∵AD=DB，

∴CD=AB=,CD⊥AB，

在中，

（2）如圖2中，

∴點P在以點D為圓心的⊙D上．

①當PB=PC時，

∵CD=DB，

∴P、D都在線段BC的垂直平分線上，設直線DP交BC于E．

∴∠PEC=90°，BE=CE=2，

∵∠CDB=90°，

∴DE=BC=CE=2，

在中，

當P在線段PD上時，PE=DE﹣DP=1，

當P在線段ED的延長線上時，PE=ED+DP=3，

②當PC=BC時，

∴PC≠BC，此種情形不存在；

③當PB=BC時，同理這種情形不存在；

如圖3中

（3）如圖4中，連接BB′．

由旋轉可知：PB=PB′，∠BPB′=90°，

∴∠PBB′=45°，

∴BB′=PB，

∴

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠ABC=45°，

∴∠ABC=∠PBB′，

∴∠ABB′=∠CBP，

∵

∴

∴

∴△ABB′∽△CBP，

∴

∴點P落在CD的延長線與⊙D的交點處，PC的值最大，

∴AB′的最大值為4+.