Question

【題目】2017年3月全國兩會勝利召開，某學校就兩會期間出現頻率最高的熱詞：A．藍天保衛戰，B．不動產保護，C．經濟增速，D．簡政放權等進行了抽樣調查，每個同學只能從中選擇一個“我最關注”的熱詞，如圖是根據調查結果繪制的兩幅不完整的統計圖．請你根據統計圖提供的信息，解答下列問題：

（1）本次調查中，一共調查了　　名同學；

（2）條形統計圖中，m=　　，n=　　；

（3）從該校學生中隨機抽取一個最關注熱詞D的學生的概率是多少？

【答案】（1）300；（2）60，90；（3）從該校學生中隨機抽取一個最關注熱詞D的學生的概率是．

【解析】試題分析：（1）根據A的人數為105人，所占的百分比為35%，求出總人數，即可解答；

（2）C所對應的人數為：總人數×30%，B所對應的人數為：總人數﹣A所對應的人數﹣C所對應的人數﹣D所對應的人數，即可解答；

（3）根據概率公式，即可解答．

試題解析：（1）105÷35%=300（人），

故答案為：300；

（2）n=300×30%=90（人），

m=300﹣105﹣90﹣45=60（人）．

故答案為：60，90；

（3）從該校學生中隨機抽取一個最關注熱詞D的學生的概率是= ，

答：從該校學生中隨機抽取一個最關注熱詞D的學生的概率是．

【題型】解答題
【結束】
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【題目】已知正方形ABCD的邊長為8，點E為BC的中點，連接AE，并延長交射線DC于點F，將△ABE沿著直線AE翻折，點B落在B′處，延長AB′，交直線CD于點M．

（1）判斷△AMF的形狀并證明；

（2）將正方形變為矩形ABCD，且AB=6，BC=8，若B′恰好落在對角線AC上時，得到圖2，此時CF=_____， =_____；

（3）在（2）的條件下，點E在BC邊上．設BE為x，△ABE沿直線AE翻折后與矩形ABCD重合的面積為y，求y與x之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）△AMF是等腰三角形，理由見解析；（2）10， ；（3） .

【解析】試題分析：（1）利用正方形的性質，∠BAE=∠F，又因為∠BAE=∠MAE，所以可得，△AMF是等腰三角形．AC=CF，

（2）由（1）結論可知, ∴CF=AC=10，利用∠ACB的正弦求值.

(3)分類討論，當0＜x≤6時，△ABE翻折后都在矩形內部，所以重合部分面積就是三角形面積；當6＜x≤8時，設EB交AD于M，重疊部分的面積=△ABE的面積減去△AB′M的面積，得到函數解析式.

試題解析：

解：（1）結論：△AMF是等腰三角形．理由如下：

如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥DF，

∴∠BAE=∠F，

由翻折可知∠BAE=∠MAE，

∴∠F=∠MAE，

∴MA=MF，

∴△AMF是等腰三角形．

（2）如圖2中，

由（1）可知△ACF是等腰三角形，AC=CF，

在Rt△ABC中，∵AB=6，BC=8，

∴AC==10，

∴CF=AC=10，

∵BE=BE′，

∴=sin∠ACB=，

故答案為10， ．

（3）①如圖3中，當0＜x≤6時，△ABE翻折后都在矩形內部，所以重合部分面積就是三角形面積，

∴y=6x=3x，

∴y=3x．

②如圖4中，當6＜x≤8時，設EB交AD于M，

∴重疊部分的面積=△ABE的面積減去△AB′M的面積，

設B′M=a，則EM=x﹣a，AM=x﹣a，

在Rt△AB′M中，由勾股定理可得62+a2=（x﹣a）2，

∴a=，

∴y=3x﹣×6×=x+．

綜上所述，y=．