Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，DC為⊙O的切線，DE⊥AB，垂足為點E，交⊙O于點F，弦AC交DE于點P，連接CF．

（1）求證：∠DPC＝∠PCD；

（2）若AP＝2，填空：

①當∠CAB＝　 　時，四邊形OBCF是菱形；

②當AC＝2AE時，OB＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①30°，②2

【解析】

（1）由切線的性質和等腰三角形的性質可得∠CAO=∠ACO，∠DEA=∠OCD=90°，可得∠DCA=∠APE=∠DPC；
（2）①由菱形的性質可得OB=BC，可證△OBC是等邊三角形，即可求解；
②由圓周角定理可得∠ACB=90°=∠AEP，通過證明△APE∽△ABC，由相似三角形的性質可求解．

（1）如圖，連接OC，OF，BC，

∵OA＝OC，

∴∠CAO＝∠ACO，

∵DC為⊙O的切線，

∴OC⊥DC，且DE⊥AB，

∴∠DEA＝∠OCD＝90°，

∴∠CAO+∠APE＝90°，∠ACO+∠DCA＝90°

∴∠DCA＝∠APE＝∠DPC，

（2）①當∠CAB＝30°時，四邊形OBCF是菱形；

若四邊形OBCF是菱形，

∴OB＝BC，且OB＝OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴∠COB＝60°

∵AO＝CO，

∴∠CAB＝30°，

∴當∠CAB＝30°時，四邊形OBCF是菱形；

②∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°＝∠AEP，且∠CAB＝∠PAE，

∴△APE∽△ABC，

∴，且AC＝2AE

∴AB＝4，

∵AB＝2OB

∴OB＝2

故答案為：30°，2