Question

【題目】如圖，拋物線 與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，連接BC．

（1）求點A、B、C的坐標．
（2）點P為AB上的動點（點A、O、B除外），過點P作直線PN⊥x軸，交拋物線于點N，交直線BC于點M．設點P到原點的值為t，MN的長度為s，求s與t的函數關系式．
（3）在（2）的條件下，試求出在點P運動的過程中，由點O、P、N圍成的三角形與Rt△COB相似時點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A、B、C在二次函數圖象上

∴把x=0代入 ，得y=2

把y=0代入 ，得x1=﹣1，x2=4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；

（2）

解：設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

把B（4，0），C（0，2）代入，得 ，

∴直線BC的解析式為

∵OP=t

∴P（t，0），M（t，﹣ t+2），N（t，﹣ t2+ t+2），

如圖，

∴S1=N1P1﹣M1P1=﹣ t2+ t+2﹣（﹣ t+2）=﹣ t2+2t（0＜t＜4），

S2=M2P2﹣N2P2=﹣ t+2﹣（﹣ t2+ t+2）= t2﹣2t（﹣1＜t＜0），

（3）

解：如圖，

①若△OPN∽△OCB，當OP與OC是對應邊時，則 ，即

化簡得：t2+t﹣4=0，

解得： ， （不合題意，舍去）

②若△OPN∽△OBC，當OP與OB是對應邊時，則 ，即

化簡得：t2﹣2t﹣4=0

解得：t3=1+ ，t4=1﹣ （不合題意，舍去）

∴符合題意的點P的坐標為（ ，0）和（1+ ，0）．

【解析】（1）分別令y=0、x=0即可以求出A、B、C的坐標，（2）應分為點P在y軸的左側和點P在y軸的右側兩種情況，分別求s與t的函數關系式，MN的長就是M、N兩點縱坐標的差，（3）在沒有確定對應關系的情況下，兩三角形相似應分兩種情況討論解決．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．